Question

14．如图所示，在水平地面上固定一倾角为37°的斜面，斜面长度为5m，今有一木块以初速度8m/s冲上斜面，木块与斜面的动摩擦因数为0.25（最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）．求：
（1）木块沿斜面上升的最大距离；
（2）木块在斜面上运动的时间；
（3）如果斜面是光滑的，木块在斜面上运动的时间又是多少？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出物体上滑的加速度，结合速度位移公式求出木块沿斜面上滑的最大距离．
（2）通过重力沿斜面方向的分力与最大静摩擦力比较，判断物体能否静止在斜面上，若不能静止在斜面上，分别求出上滑和下滑的加速度，结合运动学公式求出上滑和下滑的时间，从而得出总时间．
（3）若斜面光滑，根据牛顿第二定律求出木块的加速度，结合对称性，通过速度时间公式求出运动的时间．

解答 解：（1）对木块受力分析有：mgsinθ+f₁=ma₁
其中f₁=μN
N=mgcosθ
联立以上各式可得加速度为：
${a_1}=g（sinθ+μcosθ）=8m/{s^2}$
物体沿斜面做匀速减速运动，根据：
$v_1^2-v_0^2=2{a_1}s$
可得木块沿斜面上升的最大距离为：
s=$\frac{v_0^2}{{2{a_1}}}=\frac{64}{2×8}m=4m$
（2）设木块上升到最高点所用的时间t₁，则：
${t_1}=\frac{v_0}{a_1}=\frac{8}{8}s=1s$
木块上升到最高点后mgsin37°=6N＞f₂=μmgcos37°=2N
故木块不能停留在斜面上，将沿斜面下滑，有：
mgsin37°-μmgcos37°=ma₂
下滑的加速度为：
${a_2}=4m/{s^2}$
设木块下滑的时间为t₂
$s=\frac{1}{2}{a_2}t_2^2$
${t_2}=\sqrt{\frac{2s}{a_2}}=\sqrt{\frac{2×4}{4}}=\sqrt{2}s$
木块在斜面上运动的总时间为：
$t={t_1}+{t_2}=（1+\sqrt{2}）s$
（3）如果斜面是光滑的，木块上升加速度大小为：
${a_3}=gsin37°=6m/{s^2}$
假设木块末速度为0，上滑的距离为：
${s_1}=\frac{v_0^2}{{2{a_3}}}=\frac{16}{3}m＞5m$，可见木块飞出了斜面．
设木块在斜面上运动时间为t₃，则
$l={v_0}{t_3}-\frac{1}{2}{a_3}t_3^2$
解得：l=5m
代入数据解得：t₃=1s${t_3}=\frac{5}{3}s（舍去）$
答：（1）木块沿斜面上升的最大距离4m；
（2）木块在斜面上运动的时间$1+\sqrt{2}$s；
（3）如果斜面是光滑的，木块在斜面上运动的时间又是1s

点评 本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的综合，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，对于第二问，要判断物体能否停止在斜面上．