Question

9．两个星球半径之比2：3，表面重力加速度之比1：2，求：
（1）两个星球质量之比；
（2）两个星球上第一宇宙速度之比．

Answer 1

分析 根据星球表面重力等于万有引力求星球质量之比；
根据万有引力提供近地轨道卫星的向心力求第一宇宙速度之比；

解答 解：（1）根据星球表面重力等于万有引力有：
mg=G$\frac{mM}{{R}^{2}}$  
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
两个星球半径之比2：3，表面重力加速度之比1：2，
所以两个星球质量之比是2：9，
（2）行星表面的环绕速度即为第一宇宙速度，做匀速圆周运动的向心力是万有引力提供的，则有：
G$\frac{mM}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{gR}$，
两个星球半径之比2：3，表面重力加速度之比1：2，
所以两个星球上第一宇宙速度之比是1：$\sqrt{3}$，
答：（1）两个星球质量之比是2：9；
（2）两个星球上第一宇宙速度之比是1：$\sqrt{3}$．

点评 对于卫星问题，常常根据万有引力等于重力求星球表面的重力加速度，由万有引力等于向心力求其速度．