Question

13．如图（a）两根电阻忽略不计的光滑导轨竖直放置，导轨上、下端分别接有电流表和电阻R₁、R₂．导体棒AB与导轨垂直且接触良好．虚线MN下方有垂直导轨的磁场，当AB从距MN某处由静止释放时开始计时，磁场随时间的变化如图（b）．另外，观察到AB进入磁场前、后，电流表示数随时间的变化如图（c）．
已知：导轨宽度为L；R₁，R₂和AB的电阻均为r；图（b）中的B₀和（c）中的I₀均为已知量；取重力加速度为g．求：
（1）AB进入磁场前，磁通量的变化率$\frac{△φ}{△t}$；
（2）AB在磁场中运动的速度大小v；
（3）AB的质量m．

Answer 1

分析 （1）AB进入磁场前，由并联电路的特点求出电路中总电流，由闭合电路欧姆定律求感应电动势，即可由法拉第电磁感应定律求磁通量的变化率．
（2）用同样的方法求AB产生的感应电动势，由公式E=BLv求速度v．
（3）由图c知，AB在磁场中做匀速运动，由平衡条件求AB的质量m．

解答 解：（1）AB进入磁场前，由并联电路的特点得电路中总电流为：I=I₀+$\frac{{I}_{0}{R}_{1}}{r}$
由闭合电路欧姆定律得感应电动势为：E=（R₂+$\frac{r{R}_{1}}{r+{R}_{1}}$）I
由法拉第电磁感应定律得：E=$\frac{△φ}{△t}$；
联立解得磁通量的变化率为：$\frac{△φ}{△t}$=$\frac{r{R}_{2}+{R}_{1}{R}_{2}+r{R}_{1}}{r}$I₀．
（2）AB在磁场中运动时，通过金属棒的电流为：I′=2I₀+$\frac{2{I}_{0}{R}_{1}}{{R}_{2}}$
AB产生的感应电动势为：E′=I′（r+$\frac{{R}_{1}{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$）
由公式E=BLv得：v=$\frac{E′}{{B}_{0}L}$
联立解得：v=$\frac{2（r{R}_{2}+{R}_{1}{R}_{2}+r{R}_{1}）{I}_{0}}{{B}_{0}L{R}_{2}}$
（3）由图c知，AB在磁场中做匀速运动，由平衡条件得：B₀I′L=mg
解得AB的质量为：m=$\frac{2{B}_{0}L{I}_{0}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{R}_{2}g}$
答：（1）AB进入磁场前，磁通量的变化率$\frac{△φ}{△t}$是$\frac{r{R}_{2}+{R}_{1}{R}_{2}+r{R}_{1}}{r}$I₀；
（2）AB在磁场中运动的速度大小v是$\frac{2（r{R}_{2}+{R}_{1}{R}_{2}+r{R}_{1}）{I}_{0}}{{B}_{0}L{R}_{2}}$；
（3）AB的质量m是$\frac{2{B}_{0}L{I}_{0}（{R}_{1}+{R}_{2}）}{{R}_{2}g}$．

点评 解决本题时要注意区分电源和外电路，要明确闭合电路欧姆定律与法拉第电磁感应定律联系的纽带是感应电动势．要能通过分析图象的意义来判断金属棒在磁场中的运动情况，从而分析其受力情况．