Question

16．某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星．试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？（已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g，地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射．）

Answer 1

分析 地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，受到的万有引力提供向心力，其向心力用周期表示，结合“黄金代换”求出同步卫星的轨道半径，再利用几何关系确定太阳照不到同步卫星的范围，那么，即可求出看不到卫星的时间

解答 解析   设所求时间为t，m、M分别为卫星、地球质量，r为卫星到地心的距离，有
$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$
春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E为赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心．由图可看出，当卫星S转到S′位置间，卫星恰好处于地球的阴影区，卫星无法反射太阳光，观察者将看不见卫星．由图有rsinθ=R   
t=$\frac{2θ}{2π}T$
对地面上质量为m′的物体有$G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}=m′g$
由以上各式可知t=$\frac{T}{π}arcsin（\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g{T}_{\;}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$
答：春分那天（太阳光直射赤道）在日落后12小时内有$\frac{T}{π}arcsin（\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{g{T}_{\;}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$时间该观察者看不见此卫星

点评 解决天体问题把握两条思路：一是万有引力提供向心力，二是重力等于万有引力．针对本题关键还要分析好几何关系来求解．