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14.如图所示,倾角为45°的粗糙斜面AB足够长,其底端与半径为R=0.4m的两个光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道BCD的最低点B平滑相接,O为轨道BC圆心,BO为圆弧轨道BC的半径且为竖直线,A,D两点等高,质量m=1kg的滑块P从A点由静止开始下滑,恰能滑到与O等高的C点,重力加速度g取10m/s2
(1)求滑块与斜面间的动摩擦因数?
(2)若使滑块到达D点时对轨道的压力恰好为0,则滑块应从离地多高处由静止开始下滑?

分析 (1)对A到C的过程运用动能定理,求出滑块与斜面间的动摩擦因数;
(2)根据牛顿第二定律求出D点的速度大小,结合动能定理求出滑块下滑的高度.

解答 解:(1)对A到C的过程运用动能定理得,
$mg(2R-R)-μmgcos45°×\frac{2R}{sin45°}$=0,
代入数据解得μ=0.5.
(2)若滑块到达D点对轨道的压力为零,根据牛顿第二定律得,$mg=m\frac{{{v}_{D}}^{2}}{R}$,
解得${v}_{D}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.4}$m/s=2m/s,
从高为H的最高点到D的过程,根据动能定理有:$mg(H-2R)-μmgcos45°×\frac{H}{sin45°}$=$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}-0$,
代入数据解得H=2m.
答:(1)滑块与斜面间的动摩擦因数为0.5;
(2)滑块应从离地2m高处由静止开始下滑.

点评 本题考查了动能定理和牛顿定律的综合运用,对于第二问,知道滑块在最高点向心力的来源,通过牛顿第二定律求出D点的速度是关键.

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