Question

3．如图，在光滑水平轨道的右方有一弹性挡板，一质量为M=0.5kg的木板正中间放有一质量为m=2kg的小铁块（可视为质点）静止在轨道上，木板右端距离挡板x₀=0.5m，铁块与木板间动摩擦因数μ=0.2，现对小铁块施加一水平向右的大小为10N的拉力F．木板第一次与挡板碰前瞬间撤去外力，若木板与挡板碰撞时间极短，反弹后速度大小不变，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s²．
（1）木板第1次与挡板碰撞前经历的时间是多长？
（2）设木板第3次与挡板碰撞时小铁块还没有与挡板发生碰撞，则木板第3次与挡板碰撞时小铁块的速度是多少？

Answer 1

分析 （1）先分析铁块与木板能否一起运动．根据牛顿第二定律求出木板靠最大静摩擦力或滑动摩擦力产生的加速度，假设两者不不发生相对运动，由牛顿第二定律求得共同的加速度，从而作出判断．再根据运动学位移时间公式求解时间．
（2）由公式v₁=at，求出木板与挡板碰前的共同速度，木板第一次与挡板碰撞前瞬间撤去外力，铁块以速度v₁向右做减速运动，木板与挡板碰撞后以速度v₁向左做减速运动，木板与木块相对滑动．由牛顿第二定律和运动学公式结合求出板速度减为零经过的时间和向左运动的最远距离．根据运动学位移速度关系公式求出木板与挡板第二次碰后木板向左运动的最远距离．木板与铁块达到共速后，将以速度v₂运动，再次与挡板碰撞．以后多次重复这些过程．运用归纳法求出木板第3次与挡板碰撞时小铁块的速度．

解答 解：（1）假设m和M保持相对静止，则整体的加速度$a=\frac{F}{M+m}=\frac{10}{2.5}m/{s}^{2}=4m/{s}^{2}$，
隔离对M分析，f=Ma=0.5×4N=2N＜μmg，可知假设成立，铁块和木板一起向右做匀加速直线运动．
根据${x}_{0}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2{x}_{0}}{a}}=\sqrt{\frac{2×0.5}{4}}s=0.5s$．
（2）设木板与挡板碰前，木板与物块的共同速度为v₁，则
v₁=at
解得 v₁=2m/s
木板第一次与挡板碰撞前瞬间撤去外力，物块以速度v₁向右做减速运动，加速度大小为a₁，木板与挡板碰撞后以速度v₁向左做减速运动，木板与木块相对滑动，则木板加速度大小为a_m，设板速度减为零经过的时间为t₁，向左运动的最远距离为x₁，则
μmg=ma₁
v₁=a_mt₁
${x}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2m}$．
解得 a₁=2m/s²，t₁=0.25s，x₁=0.25m
当板速度向左为零时，设铁块速度为v₁′，则v₁′=v₁-a₁t₁
设再经过时间t₂铁块与木板达到共同速度v₂，木板向右位移为x₁′，则
v₂=v₁′-a₁t₂，v₂=a_mt₂，x₁′=$\frac{1}{2}{a}_{m}{{t}_{2}}^{2}$，
解得 v₁′=1.5m/s，t₂=0.15s，v₂=1.2m/s，x₁′=0.09m
因为x₁′＜x₁，所以木板与铁块达到共速后，将以速度v₂运动，再次与挡板碰撞．
设木板与挡板第二次碰后，木板向左运动的最远距离为x₂，则 x₂=$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{m}}$
解得 x₂=0.09m
综上可知 v₂=0.6v₁，x₂=0.36x₁
因为以后是多次重复上述过程．同理，有木板与挡板第三次碰后，木板与铁块达到共速为v₃=0.6v₂=0.72m/s．
答：（1）木板第1次与挡板碰撞前经历的时间是0.5s．
（2）设木板第3次与挡板碰撞时小铁块还没有与挡板发生碰撞，则木板第3次与挡板碰撞时小铁块的速度是0.72m/s．

点评 解决本题的关键要正确判断两个物体的运动状态，运用牛顿第二定律和运动学公式结合，边计算边分析．本题也可以根据动量守恒定律和能量守恒定律结合求解．