Question

如图甲所示，两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ角的斜面上，θ=37⁰，导轨电阻不计，间距L=0.3m．在斜面上加有磁感应强度B=1T、方向垂直于导轨平面向上的匀强磁场．导轨底端接一个阻值R=1Ω的电阻．质量m=1kg、电阻r=2Ω的金属棒ab横跨在平行导轨间，棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，金属棒从距底端高为h₁=2.0m处以平行于导轨向上的初速度v₀=10m/s上滑，滑至最高点时高度为h₂=3.2m，sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²．
（1）求ab棒上升至最高点的过程中，通过电阻R的电量q和电阻R产生的焦耳热Q．
（2）若ab棒固定在导轨上的初始位置，磁场按图乙所示规律变化（2.5×10^-2～7.5×10^-2s内是正弦规律变化），电阻R在一个周期内产生的焦耳热为Q=5J，取π²=10，求B₀．

Answer 1

分析：（1）由公式q=It，I=

E

R+r

，E=N

△?

△t

联立可求得通过电阻的电量，再由能量守恒定律，可得通过电阻的热量．
（2）分时间段，利用法拉第电磁感应定律，闭合电路欧姆定律，及焦耳定律可求出各时间段的热量与磁感应强度的关系，从而由电阻R在一个周期内产生的焦耳热，可求出磁感应强度．

解答：解：（1）ab棒上升至最高点的过程中，由电量q=It，
闭合电路欧姆定律，I=

E

R+r

产生感应电动势，E=N

△?

△t

则通过电阻R的电量：
q=

△?

R+r

=

BLX

R+r

=

1×0.3×1.2/0.6

3

=0.2c   
ab棒上升至最高点的过程中，由能量守恒定律可得：

1

2

m

v

2 0

=mg(h2-h1)+

μmgcos370(h2-h1)

sin370

+Q   
   解之得：Q=30J       
电阻R上的热量：Q_R=

Q

3

=10J  
（2）在0～

T

4

内，E1=

B0

T/4

S=

4B0

T

=40B0  
   I1=

E1

R+r

=

40B0

3

    
 Q1=

I

2 1

R

T

4

=

4 0B 2 0

9

  
在

T

4

～

T

2

内，E2m=B0Sω=

2πB0S

T

   
E2=

2πB0S

2 T

 
 I2=

E2

R+r

=

2πB0S

2 T(R+r)

=

10 2 πB0

3

Q2=

I

2 2

R

T

2

=(

10 2 πB0

3

)2×1×

0.1

2

=

10π2 B 2 0

9

=

100 B 2 0

9

           
在

3T

4

～T内 Q₃=Q₁=

4 0B 2 0

9

        
    

4 0B 2 0

9

+

100 B 2 0

9

+

4 0B 2 0

9

=5J  
解得：B₀=0.5T   
 答：（1）求ab棒上升至最高点的过程中，通过电阻R的电量q为0.2C和电阻R产生的焦耳热Q为10J．
（2）若ab棒固定在导轨上的初始位置，磁场按图乙所示规律变化（2.5×10^-2～7.5×10^-2s内是正弦规律变化），电阻R在一个周期内产生的焦耳热为Q=5J，取π²=10，则B₀为0.5T．

点评：考查焦耳定律、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律、能量守恒定律，让学生掌握基础知识，形成基本解题能力．同时在第（1）中，求产生的热量时，特别注意电阻的热量并不是电路的产生的热量．还有第（2）问中，在

T

4

～

T

2

内，产生的交变电流，因此求热量时，需要用有效值计算．