Question

6．如图所示，粒子源S可以不断地产生质量为m、电荷量为+q的粒子．粒子从O₁孔飘进（不计初速度）一水平方向的加速度电场区域I，再经小孔O₂进入正交的匀强电场和匀强磁场区域Ⅱ，电场强度大小为E，磁感应强度大小B₁，方向如图．两平行虚线PQ、MN之间存在着水平向右的匀强磁场区域Ⅲ，磁场应强度大小为B₂．当在O₁、O₂间加上适当的电压U₁时，粒子能沿图中虚线O₂O₃垂直于PQ进入区域Ⅲ，并从MN边飞出．现将一块不带电的、宽度和厚度均不计的直角状硬质塑料板abc放置在区域Ⅲ内，a、c两点恰分别位于PQ、MN上，ac连线与O₂O₃平行，ab=bc=L，α=45°，仍使粒子沿图中虚线O₂O₃进入区域Ⅲ，发现粒子仍能从MN边飞出．粒子的重力不计．

（1）求加速电压U₁；
（2）假设粒子与硬质塑料板相碰后，速度大小不变，方向变化遵守光的反射定律，求粒子在区域Ⅲ中运动时，由于塑料板的放入而延迟的从MN边飞出的时间；
（3）粒子在区域Ⅲ内运动的总路程．

Answer 1

分析 （1）粒子源发出的粒子，进入加速电场被加速，由动能定理可以求出速度．粒子经过正交的电磁场时，电场力向下，洛伦兹力向上，都与速度垂直，合力为零，根据平衡条件列式求解加速电压U₁；
（2）粒子进入PQ、MN之间的区域，由于速度方向与磁场方向平行，不受洛伦兹力而做匀速直线运动．粒子与ab板第一次碰撞后，速度向上，洛伦兹力提供向心力，在与ac边垂直的平面内做匀速圆周运动，经过一圈后，与ab边内侧碰撞，碰撞后水平向右运动，与bc边二次碰撞后，在与ac边垂直的平面内做再次匀速圆周运动，又经过一圈后，与b边外侧碰撞，水平向右离开磁场．根据运动轨迹，分匀速直线运动和匀速圆周运动求时间．对于匀速圆周运动，先计算半径和周期，再根据轨迹计算总时间，从而得到延迟的时间．
（3）根据洛伦兹力提供向心力，求出粒子在区域Ⅲ中运动的轨迹半径，由几何知识求路程．

解答 解（1）粒子从O₁到O₂，由动能定理得：
 qU₁=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，
粒子从O₂到O₃做匀速直线运动，电场力与洛伦兹力平衡，则有 qE=qv₀B1，
联立解得：U₁=$\frac{m{E}^{2}}{2q{B}_{1}^{2}}$
（2）区域Ⅲ内无塑料板时，粒子不受洛伦兹力而做匀速直线运动，通过区域Ⅲ的时间为 t₁=$\frac{2Lsin45°}{{v}_{0}}$；
区域Ⅲ内放入塑料板后，粒子从O₃以速度v₀进入区域III，先做匀速直线运动，打到ab板上，反弹后以速度v₀垂直于磁场B₂方向运动．粒子将以半径R在垂直于磁场的平面内作匀速圆周运动，转动一周后打到ab板的下部．由于不计板的厚度，所以粒子从第一次打到ab板到第二次打到ab板后运动的时间为粒子在磁场运动一周的时间，即一个周期T．粒子在磁场中共碰到2块板，做圆周运动所需的时间为t₁=2T，有：
  qvB₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
周期：T=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
粒子在磁场中做圆周运动所用的时间为：t₂=2T
粒子在磁场中沿v₀方向运动的时间为：t₃=$\frac{2Lsin45°}{{v}_{0}}$
所以，由于塑料板的存在而延尺的时间为：$△t={t_2}+{t_3}-{t_1}=\frac{4πm}{{q{B_2}}}$
（3）因为 qvB₂=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
粒子在B₂中的运动半径 $R=\frac{{m{v_0}}}{Bq}$
由几何关系可得，粒子在区域Ⅲ内运动的路程为：s=4πR+2Lsin45°
解得：s=$\sqrt{2}$L+$\frac{4πmE}{q{B}_{1}{B}_{2}}$
答：
（1）加速电压U₁为$\frac{m{E}^{2}}{2q{B}_{1}^{2}}$．
（2）粒子在区域Ⅲ中运动时，由于塑料板的放入而延迟的从MN边飞出的时间为$\frac{4πm}{q{B}_{2}}$；
（3）粒子在区域Ⅲ内运动的总路程为$\sqrt{2}$L+$\frac{4πmE}{q{B}_{1}{B}_{2}}$．

点评 本题中的复合场具有速度选择的功能，进入磁场区域后，根据动力学规律先确定运动轨迹，再进行计算．