Question

2．如图甲示，水平传送带的长度L=6m，传送带皮带轮的半径都为R=0.25m，现有一小物体（可视为质点）以恒定的水平速度v₀滑上传送带，设皮带轮顺时针匀速转动，当角速度为ω时，物体离开传送带B端后在空中运动的水平距离为s，若皮带轮以不同的角速度重复上述动作（物体保持滑上传送带的初速v₀不变），可得到一些对应的ω和s值，将这些对应值画在坐标上并连接起来，得到如图乙中实线所示的 s-ω图象，根据图中标出的数据（g取10m/s² ），求：

（1）滑上传送带时的初速v₀以及物体和皮带间的动摩擦因数μ
（2）B端距地面的高度h
（3）若在B端加一竖直挡板P，皮带轮以角速度ω′=16rad/s顺时针匀速转动，物体与挡板连续两次碰撞的时间间隔t′为多少？（ 物体滑上A端时速度仍为v₀，在和挡板碰撞中无机械能损失）

Answer 1

分析 （1）从图象中知，当0≤ω≤4rad/s时，物块的速度大于皮带的速度，物体一直做匀减速运动．有2μgL=v₀²-v₁²．当ω≥28rad/s时，水平位移不变，知物块一直做匀加速运动．有2μgL=v₂²-v₀²．分别求出v₂，v₁，联立两方程求出v₀和μ．
（2）从图象中知，当ω=4rad/s时，物块匀减速运动到达B点的速度正好等于皮带的速度，根据水平位移求出时间，再根据时间求出高度．
（3）由v′=ω′R求出传送带的速度．物体与挡板碰撞后向左减速至零，再向右加速，由牛顿第二定律和速度公式结合求解．

解答 解：（1）当0≤ω≤4rad/s时，小物体在B端的速度大小为：
v₁=ω₁R=4×0.25m/s=1m/s
当ω≥28rad/s时，小物体在B端的速度大小为：
v₂=ω₂R=28×0.25m/s=7m/s
由匀变速直线运动的规律得：
当0≤ω≤4rad/s时，2μgL=v₀²-v₁²
当ω≥28rad/s时，2μgL=v₂²-v₀²
联立以上各式解得：μ=0.2，v₀=5m/s
（2）小物体离开B端后做平抛运动，由平抛运动规律得：
s=v₂t=3.5m
h=$\frac{1}{2}$gt²；
代入数据联立解得：h=1.25m．
（3）皮带轮以角速度ω′=16rad/s顺时针匀速转动，其线速度为：v′=ω′R=4m/s
物体和挡板碰撞前后速度大小都是：v′=4m/s
第一次与挡板碰撞后速度向左，减速至0，再向右加速到4m/s第二次与挡板碰撞，则物体与挡板连续两次碰撞的时间间隔为：
t′=$\frac{2v′}{a}$=$\frac{2v′}{μg}$=4s
答：（1）小物体的初速度v₀为5m/s，它与传送带间的动摩擦因数μ为0.5．
（2）B端距地面高度h为1.25m．
（3）物体与挡板连续两次碰撞的时间间隔是4s．

点评 解决本题的关键理清物块在传送带上运动的可能性，抓住临界状态，结合运动学公式进行分析．