Question

如图所示，质量M=2Kg为小车静止于光滑的水平面上，开始小车右端距墙面距离S=2m，现有一小物体A（可视为质点）质量为m=1kg，以初速度v₀=3m/s从小车的左端水平滑上小车，物体和小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车也墙面碰撞时间极短，且碰撞过程中不损失机械能．
求：（1）第一次小车与墙面碰撞前，物体和小车的速度分别为多少？
（2）要使物体不从小车上滑出，则小车的长度至少要多长？

Answer 1

分析：（1）A在B上滑动时，以AB整体为研究对象可知，AB组成的系统动量守恒，由此可以求出AB速度相等时的速度，根据动能定理求出小车通过的位移，判断是否已经与墙碰撞；若小车还没有与墙相碰，再根据功能关系求出物体在小车上滑行的距离s₁．
（2）物体与墙碰撞后，速度立即反向，而小车将继续向右运动，根据系统的动量守恒求出相对静止时的共同速度，再根据功能关系求出物体相对于小车滑动的距离s₂，而小车的长度L至少为s₁+s₂．

解答：解：（1）设小车碰撞前达到相同速度，取向右为方向为正方向，以物体和小车组成的系统为研究对象，设小车与墙碰撞前共同速度为v₁．由动量守恒得：
mv₀=（m+M）v₁
则得：v₁=

mv0

M+m

=

1×3

2+1

m/s=1m/s
碰撞前对小车，由动能定理得：μmgs₀=

1

2

Mv

2 1

-0
得：s₀=0.5m＜s=2m，故小车与墙面碰撞前铁块和小车已达到相同速度．所以第一次小车与墙面碰撞前，物体和小车的速度均为1m/s．
（2）对小车和铁块系统，由功能关系得：
μmgs₁=

1

2

m

v

2 0

-

1

2

（m+M）v

2 1

解得：s₁=1.5m
小车与墙碰撞后，对小车和铁块系统，设相对静止时的共同速度为v₂．取向左为正方向，由动量守恒得：
Mv₁-mv₁=（M+m）v₂；
对于系统，由功能关系得：
μmgs₂=

1

2

(M+m)

v

2 1

-

1

2

(M+m)

v

2 2

得：s₂=

2

3

m
所以要使物体不从小车上滑出，则小车的长度至少为 L=s₁+s₂=1.5m+

2

3

m=2.17m．
答：（1）第一次小车与墙面碰撞前，物体和小车的速度均为1m/s．
（2）要使物体不从小车上滑出，小车的长度至少为 2.17m．

点评：解决本题的关键是抓住系统在碰撞前后过程中满足动量守恒，相对位移根据功能关系求解，要知道摩擦力与相对位移大小乘积等于系统机械能的损耗．