Question

如图所示，倾角均为θ=45°的固定光滑金属直轨道ce和c'e'，与半径为r的竖直光滑绝缘圆弧轨道abc和a'b'c'分别相切于c和c'点，两切点与对应圆心的连线和竖直方向夹角均为θ=45°，e和e'间接有阻值为R的电阻，矩形cc'd'd区域内存在与该平面垂直的磁场，磁感应强度B=Bsin（x），式中x为沿直轨道向下离开边界dd'的距离，且，长度也为L、阻值为R的导体棒在外力作用下，从磁场边界dd'沿直轨道向下匀速通过磁场，到达边界cc'时撤去外力，导体棒恰能沿圆弧轨道通过最高处aa'，金属轨道电阻及空气阻力均不计，重力加速度为g，求：
（1）导体棒通过aa'时速度υ的大小；
（2）导体棒匀速通过磁场时速度υ的大小；
（3）导体棒匀速通过磁场过程中棒上产生的热量Q．

Answer 1

【答案】分析：（1）抓住恰好通过圆弧轨道最高处的特点，运用牛顿第二定律求解．
（2）导体棒从边界cc′运动到最高处aa′过程中，根据机械能守恒定律求解．
（3）根据正弦式交流电的特点求出电流的有效值，再求出导体棒产生的热量．
解答：解：（1）设导体棒质量为m，恰好通过圆弧轨道最高处aa′满足mg=m
解得υ=
（2）导体棒从边界cc′运动到最高处aa′过程中，根据机械能守恒定律得
m=mυ²+mg（r+rcosθ）                                  
解得υ=
（3）导体棒匀速通过磁场区域历时t=
棒中正弦式交流电的感应电动势e=BLυ=BLυsin（υt）         
棒中电流的最大值I_m==
棒中电流的有效值I_有==
导体棒产生的热量Q=I_有²Rt=
答：（1）导体棒通过aa'时速度υ的大小是；
（2）导体棒匀速通过磁场时速度υ的大小是；
（3）导体棒匀速通过磁场过程中棒上产生的热量是．
点评：对物体的受力分析和运动过程分析是解决这类问题的前提．
磁感应强度B是正弦规律变化的，产生的感应电流也是正弦式交流电，抓住这类交变电流的特点解决问题．