Question

【题目】在热核反应中，磁场换流器可以控制带电粒子的运动轨迹，其简化模型图如图甲所示，通有电流的线圈在其内部形成柱状的匀强磁场，磁场的截面图如图乙所示，磁场半径为R，磁感应强度的大小为B，圆心位于O点。磁场中部有一接地的柱状材料M，其截面圆的圆心也为O点，粒子若打到该材料，将被其吸收。在磁场的边缘A点有一个粒子源，向磁场内部各个方向以某一恒定速率释放质量为m，电荷量为q的负电粒子。建立直角坐标系如图，A点为坐标原点，半径OA与y轴重合。沿+y方向的粒子恰好不与中部柱状材料M接触，直接从磁场外边沿C点射出磁场，C点坐标为（R，R）。不考虑粒子间的相互作用和重力。

（1）顺这磁场方向看，线圈中的电流方向如何（回答顺时针或逆时针）？求射入磁场的粒子的速度大小和柱状材料M的横截面积；

（2）求粒子穿过x=R直线时对应的y坐标范围；

（3）若在磁场外边缘加装一光滑的特殊环形材料N，粒子与之碰撞时都是完全弹性碰撞的，每次碰撞后粒子的电荷量不变。现使粒子源的速度大小可调，发射方向限制在第一象限方向，某粒子在磁场中运动经时间恰好与材料N发生第6次碰撞，碰撞点为D（0，2R），求该粒子在A点发射的速度方向和大小。

Answer 1

【答案】（1）电流方向为顺时针方向，，； （2）i：[0，R]，ii：[，2R]； （3）或

【解析】

（1）由安培定则得：电流方向为顺时针方向

由粒子做匀圆周运动有：

得：

由几何关系得：柱状材料M的半径

柱状材料M的横截面积为：

（2）i：粒子初速度方向为第一象限时：穿过x=R直线y坐标范围是[0，R]

ii：当粒子初速度方向为第二象限时：设某粒子轨迹恰好与材料M内切如图：

轨迹圆心为点，由几何关系得：为菱形

所以粒子在射出点P的速度方向沿+x方向

该+x方向与入射角无关，则所有粒子出磁场时速度均沿+x方向。

设从P点射出的粒子交x=R直线于点。

由几何关系得：

所以：

点的y坐标为

穿过x=R直线的y坐标范围是[，2R]

（3）每次碰撞在N边界上转过弧度，共碰撞6次

所以：

即：

每次碰撞轨迹圆心角为，总时间恰为一个周期

所以：

即：

由正弦定理得：

又：

设入射时与+y的夹角为i

由几何关系得：

上述三式得：

将代入上式得只能取k=0，1

i.k=0时，粒子发射的方向为与+y夹角为

代入得：

ii.k=1时，粒子发射的方向为与+y夹角为

代入得：