Question

16．行星A绕太阳的运动视为匀速做圆周运动，其运行轨道半径为r，周期为T．观察发现，其实际运行的轨道与圆轨道存在一些偏离，且每隔时间t发生一次最大的偏离（计算时仍看成圆周运动）．形成这种现象的原因可能是行星A外侧还存在着一颗未知行星B，它对行星A的万有引力引起A行星轨道的偏离，且行星A的轨道发生最大偏离时，A、B两行星相距最近．根据这些条件，可求得行星B的轨道半径为（　　）

• A． （$\frac{t-T}{t}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r
• B． $\frac{t}{t-T}$r
• C． （$\frac{t}{t-T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r
• D． （$\frac{t}{t+T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r

Answer 1

分析 A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离，先根据多转动一圈时间为t，求出卫星的周期；然后再根据开普勒第三定律解得轨道半径．

解答 解：由题意可知：A、B相距最近时，B对A的影响最大，且每隔时间t发生一次最大的偏离，说明A、B相距最近，设B行星的周期为T₀，未知行星B绕太阳运行的圆轨道半径为R₀，则有：（$\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{{T}_{0}}$）t=2π
解得：T₀=$\frac{tT}{t-T}$
据开普勒第三定律：$\frac{{R}_{0}^{2}}{{r}^{3}}=\frac{{T}_{0}^{2}}{{T}^{2}}$
得：R₀=（$\frac{t}{t-T}$）${\;}^{\frac{2}{3}}$r
故选：C

点评 本题关键抓住两行星发生最大偏离的条件是转动角度相差2π，进行列式，并要掌握开普勒第三定律研究周期和轨道半径的关系