Question

20．如图，足够长的木板质量M=10kg，放置于光滑水平地面上，以初速度v_o=5m/s沿水平地面向右匀速运动现有足够多的小铁块，它们的质量均为m=l kg，在木板上方有一固定挡板，当木板运动到其最右端位于挡板正下方时．将一小铁块贴着挡板无初速地放在木板上，小铁块与木板的上表面间的动摩擦因数μ=0.5．当木板运动了L=1m时，又无初速地贴着挡板在第1个小铁块上放上第2个小铁块．只要木板运动了L就按同样的方式再放置一个小铁块，直到木板停止运动．（取g=l0m/s²）．试问：
（1）第1个铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度多大．
（2）最终木板上放有多少个铁块．
（3）最后一个铁块放上后，木板还能向右运动的时间是多少．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出第1个铁块放上后，木板的加速度，再运用运动学公式求解．
（2）每加上一个铁块，木板的合力增加μmg，表示出有n个铁块放在木板上的木板运动的加速度大小，运用运动学公式分析求解；
（3）研究放上第1个铁块至刚放上第7个铁块的过程，表示出末速度，再求解木板还能向右运动的时间．

解答 解：（1）第1个铁块放上后，木板做匀减速运动即有：μmg=Ma₁
${υ_0}^2-{υ_1}^2=2{a_1}L$
代入数据解得：${υ_1}=2\sqrt{6}m/s$
（2）设最终有n个铁块能放在木板上，则木板运动的加速度大小为${a_n}=\frac{μnmg}{M}$
第1个铁块放上后：$2{a_1}L=υ_0^2-υ_1^2$
第2个铁块放上后：$2{a_2}L=υ_1^2-υ_2^2$…
第n个铁块放上后，$2{a_n}L=v_{n-1}^2-υ_n^2$
由上可得；（1+2+3+…+n）$•2\frac{μmg}{M}L=υ_0^2-υ_n^2$
木板停下时，υ_n=0，得n=6.6即最终有7个铁块放在木板上
（3）从放上第1个铁块至刚放上第7个铁块的过程中，由（2）中表达式可得：
$\frac{（1+6）×6}{2}•2\frac{μmg}{M}L={υ_0}^2-{υ_6}^2$
从放上第7个铁块至木板停止运动的过程中，
设木板运动的时间为t，则：
$t=\frac{υ_6}{a_7}$
联立解得：$t=\frac{4}{7}$s
答：（1）第1个铁块放上后，木板运动了L时，木板的速度是2$\sqrt{6}$m/s．
（2）最终木板上放有7个铁块．
（3）最后一个铁块放上后，木板还能向右运动的时间是$\frac{4}{7}$s．

点评 解决本题的关键知道木板上表面光滑，铁块相对于地面不动，每增加一个铁块，木板的合力增加μmg，然后运用运动学公式求解．