Question

1957年第一颗人造卫星上天，开辟了人类宇航的新时代．四十多年来，人类不仅发射了人造地球卫星，还向宇宙空间发射了多个空间探测器．空间探测器要飞向火星等其它行星，甚至飞出太阳系，首先要克服地球对它的引力的作用．
理论研究表明，物体在地球附近都受到地球对它的万有引力的作用，具有引力势能，设物体在距地球无限远处的引力势能为零，则引力势能可以表示为E=-G=

Mm

r

，其中G是万有引力常量，M是地球的质量，m是物体的质量，r是物体距地心的距离．
现有一个空间探测器随空间站一起绕地球做圆周运动，运行周期为T，已知探测器的质量为m，地球半径为R，地面附近的重力加速度为g．要使这个空间探测器从空间站出发，脱离地球的引力作用，至少要对它作多少功？

Answer 1

分析：空间探测器随空间站一起绕地球做圆周运动，由地球的万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律列式可求出空间站的轨道半径和速度，即可得到空间探测器具有的机械能．空间站要脱离地球的引力，机械能最小值为E_∞=0，根据功能关系求功．

解答：解：空间探测器绕地球作圆周运动，有
由G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r=m

v2

r

得，空间站的轨道半径r=

3	GMT2 4π2

　　
随空间站一起运动时，空间探测器的动能为

1

2

mv2=

GMm

2r

=

m

2

3	( 2πGM T )2

．
随空间站一起运动时，空间探测器具有的机械能为
  E₁=-G

Mm

r

+

1

2

mv2=-

GMm

2r

空间站要脱离地球的引力，机械能最小值为E_∞=0，因此，对探测器做功为
W=E_∞-E₁=

GMm

2r

　　　　　　
由地面附近的重力加速度g=G

M

R2

 得W=

m

2

3	( 2πgR2 T )2

　
答：要使这个空间探测器从空间站出发，脱离地球的引力作用，至少要对它作

m

2

3	( 2πgR2 T )2

的功．

点评：对于卫星类型，要根据其运动模型，由万有引力定律、圆周运动规律和功能关系求解．