Question

如图所示，A、B、C是三个完全相同的物块，质量均为m，其中物块A、B用轻弹簧相连，将它们竖直放在水平地面上处于静止状态，此时弹簧的压缩量为x₀．已知重力加速度为g，物块的厚度及空气阻力均可忽略不计，且在下面所述的各过程中弹簧形变始终在弹性限度内．
（1）若用力将物块A竖直向上缓慢提起，使物块B恰好能离开水平地面，求此过程中物块A被提起的高度．
（2）如果使物块C从距物块A高3x₀处自由落下，C与A相碰后，立即与A粘在一起不再分开，它们运动到最低点后又向上弹起，物块A刚好能回到使弹簧恢复为原长的位置．求C与A相碰前弹簧的弹性势能大小．
（3）如果将物块C从距物块A上方某处由静止释放，C与A相碰后立即一起向下运动但并不粘连．此后物块A、C在弹起过程中分离，其中物块C运动到最高点时被某装置接收，而物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动．求物块C的释放位置与接收位置间的距离．

Answer 1

分析：（1）由胡克定律分别求出AB竖直放置静止时，弹簧被压缩的长度和物块B恰好能离开水平地面时，弹簧伸长的长度，由几何关系求解物块A被提起的高度．
（2）物块C从距物块A高3x₀处自由落下机械能守恒，C与A碰撞过程遵守动量守恒，C与A相碰后一起向下运动到最低点，然后反弹至弹簧原长的过程，CA和弹簧组成的系统机械能守恒，分别列方程求出C与A相碰前弹簧的弹性势能大小．
（3）根据问题（2）同样分析，结合物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动的条件，按过程列方程，求出物块C的释放位置与接收位置间的距离．

解答：解：（1）设弹簧劲度系数为k，物块A、B用轻弹簧相连，竖直放置时，弹簧的压缩量为x₀=

mg

k

．
    将物块A竖直向上缓慢提起，使物块B恰好能离开水平地面时，
弹簧伸长x₁=

mg

k

   则物块A被提起的高度L=x₀+x₁=2x₀
   （2）设C自由落下到与A相碰前的速度为v₁，由机械能守恒定律，得
       mg?3x₀=

1

2

m

v

2 1

设C与A碰撞后一起向下运动的初速度为v₂，根据动量守恒定律，得
        mv₁=2mv₂
设C与A相碰前弹簧的弹性势能为E_P，物块A、C运动到最低点后又向上反弹，刚好能使弹簧恢复到原长的过程中，对A、C和弹簧组成的系统机械能守恒得
      有

1

2

2m

v

2 2

+E_P=2mgx₀
联立解
       E_P=

1

2

mgx₀
（3）设物块C距物块A的高度差为h₀，与物块A碰撞前速度为v₃，由机械能守恒定律得
      mgh₀=

1

2

m

v

2 3

   设C与A相碰后一起向下运动的初速度为v₄，根据动量守恒定律有
      mv₃ =2mv₄
    物块A、C一起向下压缩弹簧后向弹起，到达弹簧原长时，C与A分离．设分离时速度为v₅，对此过程由机械能守恒定律，得
   

1

2

2

mv

2 4

+E_P=2mgx₀+

1

2

2m

v

2 5

之后，物块C向上做匀减速运动，设上升的高度为h，则根据机械能守恒定律有
    

1

2

m

v

2 5

=mgh    解得h=

v 2 5

2g

因物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动，结合第（1）问可知，物块A运动到最高点时，弹簧形变量为x₀，故物块A运动到最高点时弹簧的弹性势能与物块A处于静止状态弹簧的弹性势能相等．
   对物块A从弹簧恢复原长位置运动到最高点过程中，由机械能守恒定律有
   

1

2

m

v

2 5

=mgx₀+E_P
联立以上各式，解得h₀=9x₀，h=1.5x₀
    由几何关系可知，物块C的释放位置与接收位置间的距离
△h=h₀-x₀-h=6.5x₀

点评：本题是比较复杂的力学综合题，首先要确定研究对象，其次分析物理过程，并寻找各个物理过程遵循的物理规律，同时要挖掘隐含的条件．