Question

10．如图所示，竖直平面内有一电阻为R₁、粗细均匀的光滑U形金属框BAHG，其中AH=l，AB=HG=$\frac{1}{2}$AH．在B、G处与宽度为l、电阻不计的平行光滑金属导轨BD、GE相接，DE之间接有电阻R₂，已知R₁=8R，R₂=4R．在BG上方及CF下方有水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从AH处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与金属框及轨道接触良好，设平行导轨足够长．已知导体棒下落$\frac{l}{4}$时的速度大小为v₁，下落到BG处时的速度大小为v₂．
（1）求导体棒ab从AH处下落$\frac{l}{4}$时的加速度大小；
（2）若导体棒ab进入CF下方的磁场后棒中电流大小始终不变，求BG与CF之间的距离h和R₂上的电功率P₂；
（3）若将CF下方的磁场边界略微下移，导体棒ab进入CF下方的磁场时的速度大小为v₃，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式．

Answer 1

分析 （1）由E=BLv求出感应电动势，由欧姆定律求出电流，由安培力公式求出安培力，由牛顿第二定律可以求出加速度．
（2）由安培力公式求出安培力，当导体棒匀速运动时感应电流不变，由平衡条件求出导体棒匀速运动的速度，然后求出距离，由电功率公式求出电功率．
（3）由安培力公式求出安培力，然后应用牛顿第二定律可以求出F随时间变化的关系．

解答 解：（1）导体棒下落$\frac{1}{4}l$时的电动势E=Blv₁
通过导体棒ab的电流：$I=\frac{E}{3R}=\frac{{Bl{v_1}}}{3R}$，
导体棒ab受到的安培力：$F=BIl=B\frac{{Bl{v_1}}}{3R}l$
导体棒ab的加速度$a=\frac{mg-F}{m}=g-\frac{{{B^2}{l^2}{v_1}}}{3mR}$；
（2）设导体棒ab进入CF下方磁场的速度为v，
导体棒的电动势：E=Blv，
通过导体棒ab的电流：$I=\frac{3E}{8R}=\frac{3Blv}{8R}$，
导体棒ab受到的安培力：$F=BIl=B\frac{3Blv}{8R}l$，
由导体棒ab中电流大小始终不变，得：$B\frac{3Blv}{8R}l=mg$，
解得，棒的速度：$v=\frac{8mgR}{{3{B^2}{l^2}}}$，
发生位移h过程中做匀加速运动，${v^2}-v_2^2=2gh$，
解得：$h=\frac{{32{m^2}{g^2}{R^2}}}{{9g{B^4}{l^4}}}-\frac{v_2^2}{2g}$，
电流：$I_2^{\;}=\frac{2}{3}I=\frac{Blv}{4R}$，
功率：$P=I_2^24R=\frac{{{B^2}{l^2}{v^2}}}{4R}=\frac{{16{m^2}{g^2}{R^{\;}}}}{{9{B^2}{l^2}}}$；
（3）设在时刻t导体ab的速度为v，
由牛顿第二定律得：F+mg-$B\frac{3Blv}{8R}l$=ma，
由速度公式得：v=v₃+at，
解得：F=$\frac{{3{B^2}{l^2}（{v_3}+at）}}{8R}$+ma-mg；
答：（1）导体棒ab从AH处下落$\frac{l}{4}$时的加速度大小为g-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}_{1}}{3mR}$；
（2）BG与CF之间的距离h为$\frac{32{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{9g{B}^{4}{l}^{4}}$-$\frac{{v}_{2}^{2}}{2g}$，R₂上的电功率P₂为$\frac{16{m}^{2}{g}^{2}R}{9{B}^{2}{l}^{2}}$；
（3）所加外力F随时间变化的关系式为：F=$\frac{{3{B^2}{l^2}（{v_3}+at）}}{8R}$+ma-mg．

点评 本题是一道电磁感应与力学、电学相结合的综合题，导体棒运动过程较复杂，有一定难度，分析清楚导体棒的运动过程是正确解题的关键，应用E=BLv、欧姆定律、安培力公式、平衡条件与牛顿第二定律、运动学公式即可解题．