Question

【题目】质量为mB=2 kg的足够长木板B静止于光滑水平地面上，在其右侧地面上固定一竖直挡板，质量为mA=6 kg的物块A停在B的左端，质量为mC=2 kg的小球C用长为L=0.8 m的轻绳悬挂在固定点O，绳能承受的最大拉力是小球C重力的9倍。现将小球C及轻绳拉直至水平位置后由静止释放，小球C在最低点与A发生正碰，碰撞时间极短，碰后小球C反弹瞬间绳刚好被拉断。已知A、B间的动摩擦因数，木板B与挡板发生弹性碰撞，且B与挡板碰撞前已与A共速，物块与小球均可视为质点，不计空气阻力，取g=10 m/s2。求：

（1）小球C与A撞后瞬间，A的速度；

（2）在木板B与挡板第一次碰撞前，A相对B滑动的位移;

（3）在A、B运动的整个过程中，A相对B的总位移及B向左运动的总路程。

Answer 1

【答案】（1）4m/s；（2）2m；（3）8m，2m

【解析】

（1）对小球C下摆的过程，应用动能定理求出小球与A碰撞前瞬间的速度，再向心力公式求得小球C反弹上升的初速度，即与A碰后的速度，根据动量守恒定律求解A的速度；
（2）运用动量守恒和能量守恒求出A相对B滑动的位移；

（3）仔细分析整个运动过程，利用用动量和能量守恒、同时结合数学的等比数列进行接题；

（1）小球C下摆的过程中，根据动能定理有：

代入数据解得碰前C的速度为：，方向水中向右

设小球C与A碰撞后反弹的速度为，根据牛顿第二定律可知：

，其中，联立可以得到：，方向水中向左

在小球C与A碰撞瞬间动量守恒，以水平向右为正方向，则：

代入数值可以得到：，方向水中向右；

（2）由题可知，木板B与挡板发生碰撞前，A与B已经共速，设速度为

以A、B为系统，以水平向右为正方向，根据动量守恒：

代入数据可以得到：，方向水平向右

设第一碰撞前，A、B相对位移为，则根据能量守恒可以得到：

代入数值可以得到：；

（3）由题可知木板B与挡板发生弹性碰撞，则碰后木板B以原速率反弹，而A仍以原速度前进，即A减速前进，木板B先向右减速然后向左加速，当再次A共速后与挡板再次发生碰撞，接着再次重复上述过程，直到最终二者动停止

设整个过程中A相对于B的总位移为，则根据能量守恒可知：

代入数据可以得到：；

由上面分析可知：第一次碰撞：，

反弹之后再次共速：，则：

第二次碰撞，反弹、共速：，则：

第三次碰撞，反弹、共速：，则：

…

每次与挡板碰撞之后，木板B都是先向左做减速运动到零之后，再反向向右加速

只研究木板B向左减速过程，只有A对B的摩擦力做负功，设木板B向左减速运动的总路程为，则根据动能定理可以得到：

根据数学等比数列知识可以得到：。