Question

7．如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形轨道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是（　　）

• A． 小球通过最高点时的最小速度v_min=$\sqrt{gR}$
• B． 小球通过最高点时圆形轨道对小球的弹力的最大值为mg
• C． 小球在水平线ab以下的管道中运动时，速度越大外侧管壁对小球的弹力一定越大
• D． 小球在水平线ab以上的管道中运动时，速度越小外侧管壁对小球的弹力一定越小

Answer 1

分析 圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．小球从最低点运动到最高点的过程中，只有重力做功，其机械能守恒．根据机械能守恒求出最低点的最小速度．由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：A、由于圆形管道能支撑小球，所以小球能够通过最高点时的最小速度为0．故A错误．
B、小球通过最高点时，根据牛顿第二定律可知${F}_{N}+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，作用力与小球的速度有关，故B错误；
C、小球在水平线ab以上的管道中运动时，设小球的速度为v，管道对小球的弹力大小为F，方向指向圆心，半径与竖直方向的夹角为α．小球经过最高点的速度为v′．由牛顿第二定律得：
F-mgcosα=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得F=mgcosα+m$\frac{v{′}^{2}}{R}$．，速度越大，弹力越大，故C正确
D、小球在水平线ab以上的管道中运动时，设小球的速度为v，管道对小球的弹力大小为F，方向指向圆心，半径与竖直方向的夹角为α．小球经过最高点的速度为v′．由牛顿第二定律得：
mgcosα+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根据机械能守恒得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}{mv}_{2}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
联立得：F=2mg（1-2cosα）-m$\frac{v{′}^{2}}{R}$，可知F可能为正，也可能为负，所以外侧管壁对小球可能有作用力．故D错误．
故选：C

点评 本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为$\sqrt{gR}$．