Question

8．如图所示，粗细均匀的圆木棒A下端离地面高H，上端套着一个细环B．A和B的质量均为m，A和B间的滑动摩擦力为f，且f＜mg．用手控制A和B使它们从静止开始自由下落．当A与地面碰撞后，A以碰撞地面时的速度大小竖直向上运动，与地面发生碰撞时间极短，空气阻力不计，运动过程中A始终呈竖直状态．求：若A再次着地前B不脱离A，A的长度应满足什么条件？

Answer 1

分析 刚开始棒和环一起向下做自由落体运动，求出棒落地时的速度，根据牛顿第二定律求出木棒弹起竖直上升过程中木棒和环的加速度，而环在木棒上升及下落的全过程中一直处于加速运动状态，所以木棒从向上弹起到再次着地的过程中，棒与环的加速度均保持不变，根据运动学基本公式求出棒再次着地时的时间，从而求出这段时间内环运动的位移即可棒的最小长度．

解答 解：设木棒着地时的速度为v₀，因为木棒和环一起自由下落，则
${v}_{0}=\sqrt{2gH}$，
木棒弹起竖直上升过程中，根据牛顿第二定律得：
对木棒：f+mg=ma₁，
解得：${a}_{1}=\frac{f+mg}{m}$，方向竖直向下，
对环：mg-f=ma₂
解得：${a}_{2}=\frac{mg-f}{m}$，方向竖直向下，
可见，环在木棒上升及下落的全过程中一直处于加速运动状态，所以木棒从向上弹起到再次着地的过程中，棒与环的加速度均保持不变，
木棒再空中运动的时间为t=$\frac{2{v}_{0}}{{a}_{1}}$，
再这段时间内，环运动的位移为x=${v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$，
要使环不碰地面，则要求木棒的长度不小于x，即L≥x，
解得：L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}H}{（mg+f）^{2}}$
答：若A再次着地前B不脱离A，A的长度应满足L≥$\frac{8{m}^{2}{g}^{2}H}{（mg+f）^{2}}$．

点评 本题主要考查了牛顿第二定律以及运动学基本公式的直接应用，要求同学们能正确分析棒和环的运动情况，知道棒和环的运动时间相等，再抓住位移关系求解，难度适中．