Question

1．如图甲所示，一对平行金属板P，Q长为L．间距为d，在其右侧有一半径为R=$\frac{3d}{10}$的圆柱体，围绕圆柱体有一个有界匀强磁场，磁场方向如图垂直纸面向里，宽度为$\frac{1}{5}$d，其边界与PQ的右边界相切（不计电场边缘效应）．平行板中轴线O₁O₂的延长线刚好经过圆柱体轴心，与圆柱体中垂线垂直，现在PQ间加上如图乙所示的交变电压，周期T=$\frac{L}{{v}_{0}}$，电压U=$\frac{2m{g}^{2}{{v}_{0}}^{2}}{q{L}^{2}}$，从t=0开始，大量的带电量为q，质量为m的负粒子，从点O₁以速度v₀沿O₁O₂的方向持续射入电场，不计重力，求：

（1）粒子在电场中偏离O₁O₂的最大距离，及该粒子离开电场区域时的速度；
（2）要使从电场中飞出的粒子恰好都不能打在圆柱体上，磁场的感应强度B₀；
（3）若磁感应强度变为$\frac{1}{5}$B₀，此时能打到圆柱体上的粒子，其在电场中向下偏离O₁O₂的最远距离．

Answer 1

分析 （1）由于粒子在电场中的运动时间与电场的变化周期相等，所以粒子y方向先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度大小相同，所用时间相同，粒子离开电场时粒子恰好从下边水平缘射出进入磁场，由牛顿第二定律和运动学公式就能求出粒子在电场中偏离O₁O₂的最大距离，及该粒子离开电场区域时的速度．
（2）画出粒子在磁场中运动的轨迹，由几何关系求出粒子做匀速圆周运动的半径，由洛仑兹力提供向心力，求得磁感应强度B₀．
（3）磁感应强度变为$\frac{1}{5}$B₀，找到粒子恰好能打到圆柱体的临界几何条件，利用洛伦兹力提供向心力结合临界几何关系，即可求出粒子向下偏离O₁O₂的最远距离．

解答 解：（1）粒子通过两板时间：t=$\frac{L}{{v}_{0}}$=T
粒子在两板间运动加速度大小：a=$\frac{Eq}{m}$
E=$\frac{U}{d}$
第1个周期T内，由不同时刻进入电场的粒子，沿电场方向的速度v_y随时间t变化的关系如图甲所示．

由图可知，t=n$\frac{T}{2}$（n取整数）时刻进入电场的粒子，在电场方向偏转的距离最大．
y=$2×\frac{1}{2}a（\frac{T}{2}）^{2}$
解得：y=$\frac{d}{2}$
由图甲还可知，从不同时刻进入电场的粒子离开电场时竖直方向的速度均为0．
故离开电场时所有粒子的速度大小：v=v₀，方向与初速度方向相同 
（2）粒子以v=v₀进入磁场，做匀速圆周运动，
根据洛伦兹力提供向心力：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
可得：r=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$

由几何关系可知，粒子由磁场边界最高点相切射入时轨道半径最小，对应的磁场厚度最小．
即：2r=$\frac{d}{5}$
解得：B₀=$\frac{10m{v}_{0}}{qd}$
（3）设粒子在磁场运动的半径为r₁，根据洛伦兹力提供向心力可得：qv₀$\frac{{B}_{0}}{5}$=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：r₁=$\frac{5m{v}_{0}}{q{B}_{0}}$=$\frac{d}{2}$

由几何关系得：cosθ=$\frac{\frac{{r}_{1}+R}{2}}{{r}_{1}}$=0.8
y=（r₁+R）cosθ-r₁=$\frac{7}{50}$d=0.14d
y=0.14d为粒子射出电场瞬间偏离电场中轴线O₁O₂的距离，并非粒子在电场中运动偏离O₁O₂的最远距离．
考虑到粒子沿电场方向有往复运动情况，设在电场中向下偏离O₁O₂的最远距离为y₁，粒子在偏离O₁O₂最远后再在垂直于O₁O₂方向往回走的位移为y₂；
设这两段位移对应的时间分别为t₁与t₂，则：y₁-y₂=0.14d
由对称性可知：y₁=$2×\frac{1}{2}a（\frac{{t}_{1}}{2}）^{2}$，y₂=$2×\frac{1}{2}a{（\frac{{t}_{2}}{2}）}^{2}$
t₁+t₂=T
将a=$\frac{2d{v}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$、T=$\frac{L}{{v}_{0}}$代入解得：y₁=0.20d
答：（1）粒子在电场中偏离O₁O₂的最大距离为$\frac{d}{2}$，及该粒子离开电场区域时的速度为v₀，方向与初速度方向相同；
（2）要使从电场中飞出的粒子恰好都不能打在圆柱体上，磁场的感应强度B₀为$\frac{10m{v}_{0}}{qd}$；
（3）若磁感应强度变为$\frac{1}{5}$B₀，此时能打到圆柱体上的粒子，其在电场中向下偏离O₁O₂的最远距离为0.20d．

点评 本题考查带电粒子在复合场中的运动，解题关键是要画出粒子轨迹过程图，选择合适的规律解决问题，粒子做类平抛运动时，运用运动的合成与分解法研究，在磁场中做匀速圆周运动时，利用洛伦兹力提供向心力求出半径公式结合几何关系解决，对数学平面几何要求较高．