Question

5．空间存在范围足够大的水平方向匀强电场，长为L的绝缘细线一断固定于O点，另一端系一带电量为正q质量为m小球，已知电场强度E=$\frac{3mg}{4q}$．OA处于水平方向，OC在竖直方向．小球从A点由静止释放，当小球运动到O点正下方B时细线恰好断裂（取sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）小球从A点运动到B点过程中的最大速率；
（2）当小球再次运动到OC线上的D点时，小球速度的大小和方向；
（3）BD的高度．

Answer 1

分析 （1）对小球从A到B过程应用动能定理可以求出小球的最大速度．
（2）由动能定理求出到达B点的速度，绳子断裂后小球做平抛运动，应用平抛运动规律可以求出小球的速度．
（3）绳子断裂后小球做平抛运动，在竖直方向做自由落体运动，由自由落体运动的位移公式可以求出高度．

解答 解：（1）因为电场力与重力的合力方向与竖直方向成37°，所以当小球运动到细线与竖直方向成37°时速率最大．由动能定理得：
mgLcos37°-qE（L-Lsin37°）=$\frac{1}{2}$mv_m²-0，
解得：v_m=$\sqrt{gL}$；
（2）S设小球运动到B点时速度大小为v_B，由动能定理得：mgL-qEL=$\frac{1}{2}$mv_B²-0，
解得：v_B=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$，
细线断裂后，小球水平方向作匀减速运动，竖直方向作自由落体运动．
水平方向加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{3}{4}$g，
小球再次运动到OC线上的D点所需时间：t=$\frac{2{v}_{B}}{a}$=$\frac{4\sqrt{2gL}}{3g}$，
小球到D点时竖直方向的速度：v_y=gt=$\frac{4\sqrt{2gL}}{3}$，
水平方向的速度：v_x=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$，
小球的速度：v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{\frac{73gL}{18}}$，
设小球的速度方向与竖直方向成θ角，则：tanθ=$\frac{{v}_{x}}{{v}_{y}}$=$\frac{3}{8}$；
（3）BD的高度：h=$\frac{1}{2}$gt²=$\frac{16}{9}$L；
答：（1）小球从A点运动到B点过程中的最大速率为$\sqrt{gL}$；
（2）当小球再次运动到OC线上的D点时，小球速度的大小为$\sqrt{\frac{73gL}{18}}$，方向：与竖直方向夹角为：arctan$\frac{3}{8}$；
（3）BD的高度为$\frac{16}{9}$L．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程复杂，难度较大，分析清楚物体运动过程是正确解题的关键，分析清楚运动过程后，应用动能定理、平抛运动规律可以解题．