Question

【题目】如图为某自动投放器的示意图，其下半部AB是一长为R的竖直管道，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧光滑轨道，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投放时，若将弹簧长度压缩了0．5R后锁定，在弹簧上端放置一个可视为质点且质量为m的小球，解除锁定，弹簧可将小球弹射出去．当小球到达顶端C时，对轨道壁的压力恰好为零，不计一切阻力，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g，求：

（1）小球到达顶端C时的速度大小v1；

（2）弹簧压缩了0．5R时的弹性势能Ep1；

（3）若将弹簧压缩了0．6R时，弹簧弹性势能为Ep2=Ep1，小球落地点离OO′的水平距离s是多少？

Answer 1

【答案】（1）鱼饵到达管口C时的速度大小；（2）弹簧压缩到0．5R时的弹性势能Ep=2mgR；（3）若将弹簧压缩了0．6R时，弹簧弹性势能为Ep2=Ep1，小球落地点离OO′的水平距离是4．2R

【解析】

试题分析：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力，完全由重力提供，

则mg=m …①

由①式解得：v1= …②

（2）从弹簧释放到最高点C的过程中，弹簧的弹性势能全部转化为鱼饵的机械能，由系统的机械能守恒定律有Ep=mg（0．5R+R）+ mv12 …③

由②③式解得：Ep=2mgR…④

（3）设其到达管口C时速度大小为v2，由机械能守恒定律得：Ep2=mg（0．6R+R）+mv22 …⑤

鱼饵离开管口C后做平抛运动，设经过t时间落到水面上，离OO'的水平距离为x，由平抛运动规律有：x=v2t+R…⑥ h=2R=gt2 ⑦

由⑤⑥⑦式解得：x=4．2R