Question

19．如图所示，两条平行的水平导轨FN、EQ的间距为L，导轨的左侧与两条竖直固定、半径为r的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道平滑相接，圆弧轨道的最低点与导轨相切，在导轨左边宽度为d的EFHG矩形区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场，且在磁场的右边界、垂直导轨放有一金属杆甲，右边界处无磁场．现将一金属杆乙从$\frac{1}{4}$圆弧轨道的最高点PM处由静止释放，金属杆乙滑出磁场时，与金属杆甲相碰（作用时间极短）并粘连一起，最终它们停在距磁场右边界为d的虚线CD处．已知金属杆甲、乙的质量均为m，接入电路的电阻均为R，它们与导轨间的动摩擦因数均为μ，且它们在运动过程中始终与导轨间垂直且接触良好，导轨的电阻不计，重力加速度大小为g．求：
（1）金属杆乙通过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小N；　
（2）整个过程中，感应电流通过金属杆甲所产生的热量Q；
（3）金属杆乙通过磁场过程中通过其横截面的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）对金属杆乙在圆弧轨道运动的过程，运用机械能守恒，求出乙杆运动到最低点时的速度，再根据牛顿第二定律，求出金属杆乙在最低点时所受到的支持力N；
（2）对两杆相碰的过程运用动量守恒列式，再对两杆以共同的速度向右减速为零的过程运用动能定理列式，对金属杆乙在磁场中运动的过程运用能量守恒列式，电阻产生的电热与阻值之间的分配关系式，联立即可求解金属杆甲所产生的热量Q；
（3）将金属杆乙穿过磁场的运动过程，利用法拉第电磁感应定律求解感应电动势的平均值，进而求感应电流的平均值，最后再电流的定义式求通过其横截面的电荷量q．

解答 解：（1）金属杆乙在圆弧轨道上下滑过程中的机械能守恒，有：mgr=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{2gr}$…①
对金属杆乙在圆弧轨道最低点，由牛顿第二定律可得：
  N-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$…②
联立①②式得：N=3mg
（2）设金属杆乙与金属杆甲相碰前后的速度大小分别为v₁，v₂，
取向右为正方向，根据动量守恒可得：mv₁=2mv₂ …③
金属杆甲、乙相碰后过程，由动能定理得：
-2μmgd=-$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$…④
联立③④式可得：v₁=2$\sqrt{2μgd}$…⑤
金属杆乙在磁场中运动的过程中，由能量守恒定律有：
  $\frac{1}{2}$mv₁²+μmgd+Q_总=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$…⑥
又感应电流通过金属杆甲所产生的热量  Q=$\frac{R}{R+R}$Q_总 …⑦
联立①⑤⑥⑦式可得：Q=$\frac{1}{2}$mg（r-5μd）
（3）金属杆乙通过磁场区域的过程中产生的平均感应电动势为：
   $\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BLd}{t}$…⑧
此过程中的电流平均值为 $\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$…⑨
通过其横截面的电荷量 q=$\overline{I}$t…（10）
解得：q=$\frac{BLd}{2R}$
答：（1）金属杆乙通过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小N是3mg；　
（2）整个过程中，感应电流通过金属杆甲所产生的热量Q为$\frac{1}{2}$mg（r-5μd）；
（3）金属杆乙通过磁场过程中通过其横截面的电荷量q是$\frac{BLd}{2R}$．

点评 本题综合考查了动能定理、法拉第电磁感应定律、闭合电路欧姆定律，能量守恒等；第三问金属杆做变加速运动，求电量时要用电流的平均值求．