Question

11．水平地面上放着如图所示的玻璃砖，横截面左半部分OAB为一半径为R的$\frac{1}{4}$圆，右半部分OBC为一直角三角形，角C等于30°，玻璃砖折射率n=$\sqrt{3}$．现有一知入射光线如图所示平行于地面射到玻璃砖AB面上，已知入射光线与地面的距离为H=$\frac{\sqrt{3}R}{2}$，光在真空中的速度为c．求：
①光线从BC边射出时的折射角；
②光线在玻璃砖中传播所用的时间t及出射光线与地面的距离h．

Answer 1

分析 ①通过几何关系求出光线在AB面上入射角的正弦，结合折射定律求出折射角，从而得出光线在玻璃砖水平面AC上的入射角，判断是否发生全反射，若发生全反射，结合几何关系和折射定律求出光线从BC边射出时的折射角．
②根据几何关系求出光线在玻璃砖中的路程，根据v=$\frac{c}{n}$求出光线在玻璃砖中的速度，从而得出光线在玻璃砖中传播的时间，结合几何关系求出出射光线与地面的距离．

解答 解：①如图所示，设入射光线与$\frac{1}{4}$ 圆的交点为D，连接OD，OD为法线．过D作 D D₁垂直于水平地面．设入射角和折射角分别为α，β．
又由△O D D₁知sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由折射定律得 $\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$，
解得β=30°．
由几何关系知，光线在玻璃砖的水平面AC上的入射角60°．
因为sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$=sin60°，所以C＜60°   
在F点发生了全反射，到达G点出射，由几何关系知达G点入射角为β=30°，
由$\frac{sinα}{sinβ}=\sqrt{3}$知，折射角也为α=60°，出射光线平行于地面．
②分别过E、F做EE₁、FF₁垂直于BC，过G做GG₁作垂直于AC，由几何关系知△EE₁B≌△FF₁G≌△FG₁G，
因为DF=2Rcos30°，FG=2h
得S=DF+FG=$\frac{3+2\sqrt{3}}{3}R$，
n=$\frac{c}{v}$，
所以t=$\frac{s}{v}$=$\frac{ns}{c}$=$\frac{（2+\sqrt{3}）R}{c}$．
因为  2OEcos30°=R，BE=R-OE    
得BE=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}R$．
所以  h=BE₁=$\frac{BE}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{6}R$．
答：①光线从BC边射出时的折射角为60°；
②光线在玻璃砖中传播所用的时间为$\frac{（2+\sqrt{3}）R}{c}$，出射光线与地面的距离为$\frac{3-\sqrt{3}}{6}R$．

点评 本题考查光的折射问题，对数学几何能力的要求较高，平时需加强训练，提高解题能力，同时掌握光的折射定律，注意正确的作图是解题的关键．