Question

如图所示，abc是光滑的轨道，其中ab是水平的，bc为竖直平面内的半圆且与ab相切，半径R=0.3m．质量m=0.5kg的小球A静止在轨道上，另一个质量M=1.0kg的小球B，以速度v₀=6.5m/s与小球A正碰．已知碰撞后小球A经过半圆的最高点c落到轨道上距b点为L=4

2

R处，g取10m/s²，求：
（1）碰撞结束时小球A和B的速度大小；
（2）A球在c点对轨道的压力；
（3）论证小球B能否沿半圆轨道到达c点．

Answer 1

分析：（1）根据平抛运动的规律，求出A球在c点的速度，根据机械能守恒定律求出A球碰后的速度，再根据动量守恒定律求出B球碰后的速度．
（2）以A球为研究对象，在c点，由重力和轨道的压力的合力提供A球的向心力，根据牛顿第二定律求出轨道对A球的压力，再由牛顿第三定律求A球对轨道的压力．
（3）根据机械能守恒定律求出B球到底最高点的速度，再根据牛顿第二定律求出最高点的最小速度，然后进行比较，判断能否到达最高点c．

解答：解：（1）设球A在c点的速度为v，A球离开c点后做平抛运动，根据平抛运动规律有
水平方向，有   vt=L=4

2

R         
竖直方向，有   2R=

1

2

gt2
解得：v=

8Rg

设A碰后速度为v_A，由机械能守恒定律有

1

2

mvA2=

1

2

mv2+mg2R                   
得：v_A=

12gR

=6m/s                     
由动量守恒定律有
  Mv₀=mv_A+Mv_B                      
得v_B=

Mv0-mvA

M

=3.5m/s                
（2）由牛顿第二定律有
  N+mg=m

v2

R

得：N=

mv2

R

-mg=35N                 
由牛顿第三定律知A球对轨道的压力大小为35N，方向竖直向上．
（3）若B恰能到达c点，则c点的速度v_c满足：
Mg=M

vc2

R

，得 v_c=

gR

B在最低点的最小速度v_B′满足：

1

2

MvB2=

1

2

Mvc2+Mg2R
解得  v_B′=

5gR

=

15

m/s     
而由第（1）问中求出的B碰后的速度v_B=3.5m/s＜

15

所以B不能沿半圆轨道到达c点．                     
答：
（1）碰撞结束时，小球A和B的速度大小分别为6m/s、3.5m/s．
（2）A球在c点对轨道的压力是35N．
（3）小球B不能达到半圆轨道的c点．

点评：本题考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、牛顿第二定律等规律，综合性较强，需在平时的学习中加强训练，提高自己的解题能力．