Question

（2009?广东）如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，同内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：
①当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；
②当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．

Answer 1

分析：（1）当筒不转动时，物块受到重力、筒壁A的摩擦力和支持力作用，根据平衡条件求解．角度由数学知识求出．
（2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，由重力和支持力的合力提供物块的向心力，由牛顿第二定律求解．

解答：解：（1）设圆锥母线与水平方向的夹角为θ．当筒不转动时，物块静止在筒壁A点时受到的重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，
   由平衡条件得
     摩擦力的大小：f=mgsinθ=

mgH

H2+R2

     支持力的大小：N=mgcosθ=

mgR

H2+R2

；
   （2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A点时受到的重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有
   mgtanθ=mω²

R

2

由几何关系得  tanθ=

H

R

   联立解得ω=

2gH

R

答：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力为

mgH

H2+R2

，
                   支持力的大小为

mgR

H2+R2

；
    （2）当物块在A点随筒做匀速转动，且其受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度为

2gH

R

．

点评：本题是圆锥摆类型．关于向心力应用的基本方程是：指向圆心的合力等于向心力，其实是牛顿第二定律的特例．