Question

如图所示，一质量为m的小球A用长度为l的轻绳系在O处，开始时绳处于水平伸直状态，O处正下方有一质量为

1

4

m的物体B，物体B和C用轻质弹簧相连，放置于光滑水平面上，C的质量为

3

4

m，现将A由静止释放，A运动到最低点与B发生正碰，碰后AB分开，A运动到最高点时OA连续与竖直方向成60°角，重力加速度为g．求：
（1）球A与物体B碰前瞬间速度；
（2）球A与物体B碰后瞬间对绳子的拉力；
（3）BC两物体在运动过程弹簧储存的最大弹性势能．

Answer 1

分析：（1）球A在下摆至最低位置过程中，由动能定理求解球A与物体B碰前瞬间速度；
（2）对球A在向右摆的过程，由动能定理求出碰后A的速度．根据牛顿第二定律求解球A与物体B碰后瞬间对绳子的拉力；
（3）先判断A球与物体B碰撞后A的运动方向：根据碰撞过程遵守的动量守恒定律和系统的总动能不增加进行分析．并求出AB碰后B获得的速度．当BC速度相等时，弹簧的压缩量最大，弹性势能最大．根据系统的能量守恒求解．

解答：解：（1）球A在下摆至最低位置过程中，由动能定理有：mgl=

1

2

mv

2 AO

              
得：v_AO=

2gl

                                              
（2）球A在向右摆的过程中，由动能定理有：
 mgl（1-cos60°）=

1

2

mv

2 A

                                           
设球A与物体B碰后瞬间对绳子的拉力为T，则有：
T-mg=m

v 2 A

l

                                         
得：T=2mg                                                      
（3）判断球A球与物体B碰撞后，A的运动方向
①设A向左运动：由动量守恒定律得：
mv_AO=-mv_A+

1

4

mv_B                                       
得：v_B=4（

2

+1）

gl

                                                  
系统碰撞前动能为：E_ko=

1

2

m

v

2 AO

=mgl                                  
系统碰撞后的动能为：E_k=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

×

1

4

m

v

2 B

=

1

2

mgl+2(

2

+1)2mgl       
所以有：E_ko＜E_k                                                     
不符合碰撞过程动能不增加的原则，所以球A碰撞后不可能向左运动．
②设A向右运动：由动量守恒定律得：
mv_AO=mv_A+

m

4

vB                                              
得：v_B=4（

2

-1）

gl

                                             
系统碰撞后的动能为：E_k=

1

2

m

v

2 A

+

1

2

×

1

4

m

v

2 B

=

1

2

mgl+2（

2

-1）²mgl＜E_ko      
所以球A碰撞后速度方向不变继续向右运动．
当BC同速时，弹簧有最大的压缩量，弹簧储存弹性势能有最大值，则有：

1

4

mv_B=（

1

4

m+

3

4

m）v_BC                                              
对AB系统由功能关系有：
E_p=

1

2

×

1

4

mv

2 B

-

1

2

（

1

4

m+

3

4

m）v_BC²                                        
联立得：E_p=

3(3-2 2 )

2

mgl≈0.26mgl
答：（1）球A与物体B碰前瞬间速度为

2gl

；
（2）球A与物体B碰后瞬间对绳子的拉力为2mg；
（3）BC两物体在运动过程弹簧储存的最大弹性势能约为0.26mgl．

点评：本题判断A的运动方向是解题关键，抓住碰撞过程，动量守恒和系统的总动能不增加这两个基本规律进行分析．