Question

13．在勇气号火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度大小为υ₀，已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T；火星可视为半径为R的均匀球体．不计大气阻力．求：
（1）火星质量大小？
（2）它第二次落到火星表面时速度的大小？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力提供圆周运动向心力，根据卫星的周期和半径求得火星的质量M；
（2）火星表面重力与万有引力相等求得火星表面的重力加速度，再根据动能定理求得第二次落地时的速度大小．

解答 解：（1）火星对卫星的万有引力提供卫星圆周运动的向心力有：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得火星的质量M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）设火星表面重力加速度为g
由重力与万有引力相等有：
$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$
可得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
小球第二次落地根据动能定理有：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入重力加速度可解得：
v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gh}$=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{R}^{2}{T}^{2}}}$
答：（1）火星质量大小为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）它第二次落到火星表面时速度的大小为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{8{π}^{2}{r}^{3}h}{{R}^{2}{T}^{2}}}$．

点评 万有引力的应用主要从以下两方面入手：一是万有引力提供环绕天体圆周运动的向心力，二是星球表面重力与万有引力相等．