Question

6．图甲中A和B表示在真空中相距为d的两平行金属板．加上电压后，他们之间的电场可视为匀强电场；图乙表示一周期性的交变电压的波形，横轴代表时间t，纵轴代表电压U _AB，从t=0开始，电压为给定值U ₀，经过半个周期，突然变为-U ₀ …．如此周期地交替变化．在t=0时刻将上述交变电压U _AB 加在A、B两极上．电子质量为m，电荷量为e．

（1）在t=0时刻，在B的小孔处无初速地释放一电子，在t=$\frac{3T}{4}$时该电子的速度大小．（设一个周期内电子不会打到板上，T作为已知量）
（2）试问在t等于哪些时刻释放上述电子，在一个周期时间，该电子刚好回到出发点？试说明理由并求出电源频率应具备的条件．
（3）在t=0时刻，在B的小孔处无初速地释放一电子，要想使这电子到达A板时的速度最小（为零），则所加交变电压的周期为多大？

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律和速度时间公式结合求电子的速度大小．
（2）在t=nT+$\frac{T}{4}$时刻释放电子，经过一个周期，在t=$\frac{5T}{4}$时刻，电子刚回到出发点．抓住前半个周期内内的位移小于等于d，求出频率的大小．
（3）在B的小孔处无初速地释放一电子，要想使这电子到达A板时的速度最小（零），则电子应该在t=nT（n=1，2，3，…）时刻到达A板，结合位移时间公式，运用牛顿第二定律求出周期．

解答 解：（1）在t=0时刻，在B的小孔处无初速度地释放一电子，电子在两极板间的v-t图象如图2-J所示．
在U₀电压作用下，电子的加速度 a=$\frac{e{U}_{0}}{md}$ ①
在$\frac{T}{2}$时刻电子速度 v_m=a$•\frac{T}{2}$=$\frac{e{U}_{0}T}{2md}$ ②
t=$\frac{3T}{4}$时该电子的速度大小 v₁=vm-a$\frac{T}{4}$=$\frac{e{U}_{0}T}{4md}$
（2）根据速度图象与横轴所夹的面积表示位移可知，在t（n+$\frac{1}{4}$）T（n=1，2，3，…）时刻释放的电子，经过一个周期，电子刚好回到出发点
电源具备的条件是在半个周期即从$\frac{T}{4}$～$\frac{3}{4}T$时间内，电子的位移不大于 d，即有
  2$•\frac{1}{2}a（\frac{T}{4}）^{2}$≤d
可得 T≤$\sqrt{\frac{16m{d}^{2}}{e{U}_{0}}}$
则频率f≥$\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{16m{d}^{2}}}$
（3）由电子在电场中运动时的受力情况及速度变化情况可知：要求电子到达A板的速度为零，则电子应在t=nT（n=1，2，3，…）时刻到达A板，电子在每个$\frac{T}{2}$内通过的位移为
  x=$\frac{1}{2}a（\frac{T}{4}）^{2}$ ③
依题意知 d=n•（2x）
联立①③④解得  T=$\sqrt{\frac{4m{d}^{2}}{ne{U}_{0}}}$（n=1，2，3，…）
答：
（1）在t=0时刻，在B的小孔处无初速地释放一电子，在t=$\frac{3T}{4}$时该电子的速度大小为$\frac{e{U}_{0}T}{4md}$．
（2）在t（n+$\frac{1}{4}$）T（n=1，2，3，…）时刻释放的电子，经过一个周期，电子刚好回到出发点．电源频率应具备的条件是：f≥$\sqrt{\frac{e{U}_{0}}{16m{d}^{2}}}$．
（3）在t=0时刻，在B的小孔处无初速地释放一电子，要想使这电子到达A板时的速度最小（为零），则所加交变电压的周期为$\sqrt{\frac{4m{d}^{2}}{ne{U}_{0}}}$（n=1，2，3，…）．

点评 解决本题的关键搞清粒子在电场中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．