Question

如图，两根足够长的光滑固定平行金属导轨与水平面成θ角，导轨间距为d，两导体棒a和b与导轨垂直放置，两根导体棒的质量都为m、电阻都为R，回路中其余电阻不计。整个装置处于垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度的大小为B,在t=0时刻使a沿导轨向上作速度为v的匀速运动，同时将b由静止释放，b经过一段时间后也作匀速运动。已知d=1m，m=0.5kg，R=0.5Ω，B=0.5T，θ=30⁰，g取10m／s²，不计两导棒间的相互作用力。         
（1）若使导体棒b静止在导轨上，导体棒a向上运动的速度v多大?
（2）若a在平行于导轨向上的力F作用下，以v₁=2m/s的速度沿导轨向上匀速运动，试导出F与b的速率v₂的函数关系式并求出v₂的最大值；
（3）在(2)中，当t=2s时，b的速度达到5.06m/s，2s内回路中产生的焦耳热为13.2J，求该2s内力F做的功(结果保留三位有效数字)。

Answer 1

⑴v₁="10m/s " ④（1分）
⑵v_m=" 8m/s" （1分）
⑶W_F="14.9J  " （1分）

解：⑴设a的速度为v₁，则  ① （1分）
对b： ②（1分）    
F_A=mgsinθ ③（1分）
将①②式代入③式得：v₁="10m/s " ④（1分）
⑵设a的速度为v₁，b的速度为v₂，回路电流为I，
则： ⑤（1分）
对a：mgsinθ + F_A = F    ⑥（2分）
代入数据得:   （1分）
设b的最大速度为v_m，则有：（2分）
代入数据得:    v_m=" 8m/s" （1分）
⑶对b：mgsinθ－F_A= ma   （1分）
用微元法计算b棒的位移, 取任意无限小△t时间,b棒位移为
对上式两边同乘以得   （1分）
代入数据并求和得：   8t－x₂ = 2v₂ （1分）
将t=2s，v₂=5.06m/s代入上式得：x₂="5.88m  " （1分）
a的位移：x₁=v₁t =" 2×2" = 4m
由功能关系知：
  （1分）
代入数据得：W_F="14.9J  " （1分）