Question

18．如图所示，在xOy平面的第一象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B=6.25T，第二象限内有竖直向下的匀强电场，场强大小为E=5.0×10³V/m．在x轴上的A点有一离子源，它能够产生质量m=5.0×10^-5kg、电荷量为q=2.0×10^-3C且速度大小不同的带正电离子，射入磁场的速度方向均与x轴正方向成37°角，坐标原点O到A点的距离为d=0.8m，离子的重力与空气阻力均不计，求：
（1）在x轴的正半轴上离子能够到达的范围；
（2）垂直于y轴迸入电场的离子在电场中运动的时间；
（3）在磁场中恰好运动半个圆周的离子，进入电场后到达x轴负半轴时的动能．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛仑兹力提供向心力，能够到达x轴的正半轴的临界情况是轨迹与+y轴相切，结合几何关系求解即可；
（2）垂直于y轴迸入电场的离子，先画出运动的轨迹，求解射入电场的位置坐标；在电场中做类似平抛运动，根据分运动公式列式求解；
（3）在磁场中恰好运动半个圆周的离子，进入电场后做曲线运动，根据动能定理列式求解到达x轴负半轴时的动能．

解答 解：（1）粒子在磁场中能够到达x轴的正半轴的临界情况轨迹与+y轴相切，如图所示：

结合几何关系，有：
d=r+rcos37°
C点的坐标为：
x_C=d-2rcos37°
联立解得：
x_C=$\frac{d}{9}$=$\frac{4}{45}$m
即粒子可以打在+x轴上$\frac{4}{45}$m-0.8m范围内；
（2）垂直于y轴进入电场的离子在磁场中的轨迹如图所示：

结合几何关系，有：
d=Rsin37°
射入电场的坐标为：y=R+Rcos37°
联立解得：y=3d=2.4m
在电场中做类似平抛运动，根据分运动公式，有：
y=$\frac{1}{2}•\frac{qE}{m}•{t}^{2}$
解得：
t=$\sqrt{\frac{2my}{qE}}$=$\sqrt{\frac{{2×5.0×1{0^{-5}}kg×2.4m}}{{2.0×1{0^{-3}}C×5.0×1{0^3}V/m}}}=1.55×{10^{-2}}s$
（3）在磁场中恰好运动半个圆周的离子，轨迹如图所示：

结合几何关系，有：2R=$\frac{d}{sin37°}$
解得：R=$\frac{d}{2sin37°}$=$\frac{0.8}{2×0.6}=\frac{2}{3}m$
根据牛顿第二定律，有：
qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
在磁场中恰好运动半个圆周的离子，在y轴上对应的坐标为：y=$\frac{d}{tan37°}$=$\frac{16}{15}$m
在电场中做曲线运动，根据动能定理，有：
$qEy={E}_{k}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
联立解得：
E_k=qEy+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
=$qEy+\frac{（qBR）^{2}}{2m}$
=$2.0×1{0^{-3}}C×5.0×1{0^3}V/m×\frac{16}{15}m+\frac{1}{2}×\frac{{{{（2.0×1{0^{-3}}C×6.25T×\frac{2}{3}m）}^2}}}{{2×5.0×1{0^{-5}}kg}}$
≈11J
答（1）在x轴的正半轴上离子能够到达的范围为$\frac{4}{45}$m-0.8m；
（2）垂直于y轴迸入电场的离子在电场中运动的时间约为1.55×10^-2s；
（3）在磁场中恰好运动半个圆周的离子，进入电场后到达x轴负半轴时的动能约为11J．

点评 本题关键是画出粒子的运动轨迹，结合几何关系、牛顿第二定律、类平抛运动的分运动公式和动能定理列式求解．