Question

19．如图甲所示，一质量M=2kg，长为L的圆管竖直放置，顶端塞有质量为m=1kg的弹性小球．t=0时让管从静止自由下落，t=1.0s时落地，落地后管立刻以与落地时大小相等的速率竖直弹起，第一次弹起后管上升过程的速度图象如图乙所示（竖直向下为正方向）．之后管每次落地后，总以与落地时相等的速率竖直弹起．已知小球始终没有从管中滑出，球与管间的滑动摩擦力等于最大静摩擦力，不计空气阻力及圆管与地面间碰撞的时间，求：（g=10m/s²）

（1）球和管间的滑动摩擦力的大小；
（2）管从第一次落地到第二次落地所用的时间；
（3）圆管的最小长度．

Answer 1

分析 （1）乙图中t=1.0-1.5s内，管向上弹起做匀减速运动，由图象的斜率求出管的加速度，根据牛顿第二定律求球和管间的滑动摩擦力．
（2）根据牛顿第二定律和速度公式求第一次碰撞后管与球的速度相等的过程经历的时间，以及共同速度．由速度位移关系公式求出管上升的高度．由位移公式求出从速度第一次相等到第二次落地，管与球再次共同运动所经历的时间，从而得到总时间．
（3）圆管的最小长度时，球与管均静止，且球恰好在管的最下端，根据能量守恒定律求解．

解答 解：（1）由图乙可知，向下为正方向，在t₂=1.5s-1.0s=0.5s内，管的加速度为
  a₁=$\frac{{v}_{0}}{{t}_{2}}$=$\frac{10}{0.5}$=20m/s²．
设球和管间的滑动摩擦力大小为f，由牛顿第二定律得：
  Mg+f=Ma₁，解得 f=20N
（2）在第一次碰撞后到管与球速度（设为v）相等的过程中，设球的加速度为a₂，时间为t₃，管上升的高度为h，由牛顿第二定律得：
  mg-f=ma₂，解得 a₂=-10m/s²．
又对球有：v=v₀+a₂t₃
对管有：v=-v₀+a₁t₃
联立解得 t₃=$\frac{2}{3}$s，v=$\frac{10}{3}$m/s
对管有：${v}^{2}-{v}_{0}^{2}$=-2a₁h
从速度第一次相等到第二次落地，管与球再次共同运动，设该过程的时间为t₄，则有
  h=vt₄+$\frac{1}{2}g{t}_{4}^{2}$
解得 t₄=$\frac{\sqrt{5}-1}{3}$s
则管从第一次落地到第二次落地所用的时间 t=t₃+t₄=$\frac{\sqrt{5}+1}{3}$s
（3）设管的最小长度为L，最终管与球均静止时，球恰好在管的最下端，由能量守恒定律得：
  MgH+mg（H+L）=fL
  H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 L=15m
答：
（1）球和管间的滑动摩擦力的大小是20N；
（2）管从第一次落地到第二次落地所用的时间是$\frac{\sqrt{5}+1}{3}$s；
（3）圆管的最小长度是15m．

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．