Question

如图，在倾角为37°的足够长的光滑斜面上，放一质量为m_A=0.2kg的薄板A，A板上、下段由不同材料构成，下段表面光滑，长度l=3m，上段表面粗糙；质量为m_B=2.0kg的金属块B（视为质点）位于A的最下端，B与A上段间的动摩擦因数μ=0.1；质量为m_C=1.2kg的物块C通过轻线绕过定滑轮与B相连．忽略滑轮质量及轴间的摩擦，A，B间最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力．开始时，整个系统在外力作用下，处子静止状态，轻线被拉
直．cos37°=0.8，sin37°=0.6，g=10m/s²．求：
（1）撤去外力的瞬间，A，B，C的加速度分别是多大？
（2）撤去外力后的整个过程中，因摩擦产生的热量Q=？（绳足够长，B始终没滑出A板）

Answer 1

分析：（1）先分析撤去外力后BC的加速度，再求A的加速度．
（2）撤去外力后，A板从静止开始向下做匀加速运动，只要金属块B在A板下段表面上，B、C就保持静止不动，选择不同的研究对象应用牛顿第二定律和运动学方程求出不同段的加速度．A、B、C最终达到速度相等．

解答：解：（1）由于m_Bgsin37°=m_cg=12 N  所以，撤去外力的瞬间a_B=a_c=0   
对薄板A，有m_Agsin37°=m_Aa_A
得 a_A=6 m/s²          
（2）由于斜面和A板下段表面都光滑，撤去外力后，A板从静止开始向下做匀加速运动，只要金属块B在A板下段表面上，B、C就保持静止不动．A板运动到金属块B在其上段表面上后，B和C受滑动摩擦力作用将一起以相同大小的加速度做加速运动．设A板上段刚滑到B下方时速度为v_A，则

V

2 A

=2aAl
解得v_A=6 m/s
B在A板上端表面时，设A板加速度为a_A1，B和C加速度为a_B1，轻线拉力为F，则
m_Agsin37°-μm_Bgcos37°=m_Aa_A
m_Bgsin37°+μm_Bgcos37°-F=m_Ba_B1
F-m_Cg=m_Ca_B1
解得a_A1=-2 m/s²，a_B1=0.5 m/s²
A、B、C最终达到速度相等．假设速度相等之后，A、B间的静摩擦力f小于最大静摩擦力f_m，即A、B相对静止，A、B、C三者加速度大小相同，设为a₀，则
（m_A+m_B）gsin37°-m_Cg=（m_A+m_B+m_C）a₀
m_Agsin37°-f=m_Aa₀
a₀=0.5 m/s²，f=1.1N
f_m=μm_Bgcos37°=1.6N
即f＜f_m，假设成立，之后A、B相对静止．
设A、B、C达到相等速度v₁所需时间为t，则
v₁=v_A+a_A1t=a_B1t      
解得t=2.4 s，v₁=1.2 m/s
设在时间t内，A通过的距离是x_A，B和C通过的距离是x_B，则
x_A=

1

2

（v_A+v₁）t   
x_B=

1

2

v₁t         
解得x_A=8.64m，x_B=1.44 m
Q=μm_Bg（x_A-x_B）   
Q=14.4J
答：（1）撤去外力的瞬间，A，B，C的加速度分别是6 m/s²、0、0．
（2）撤去外力后的整个过程中，因摩擦产生的热量Q=14.4J

点评：本题是一道反复考查牛顿第二定律和运动学公式的题目，关键是正确分析每个分过程列出方程，特别是B与A的作用过程．是一道好题．