Question

3．如图所示，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴在垂直平面建立平面直角坐标xOy，平行于x轴的虚线l₁交y轴于P（0，d），平行于y轴的虚线l₂交l₁于Q（2d，d），今有比荷为k的两带正电小球A、B，虚线l₁下方存在一竖直向上的匀强电场E₁=$\frac{2g}{k}$（电场边界不含线l₁），在虚线l₁上方（电场边界含l₁）存在一向左上方的匀强电场E₂（未知），小球A自O以某一水平向右的初速度释放，与此同时，小球B自P点以水平向右的初速度v₀=3$\sqrt{2gd}$．释放后恰沿虚线l₁运动，运动中不考虑带电小球间相互作用及小球电荷电荷量对电场分布的影响．
（1）若小球A恰能到达Q点，求小球到达Q点时的速度大小；
（2）若A、B两球恰能相遇于Q点，求P、Q两点的电势差U_PQ及电场强度E₂．

Answer 1

分析 （1）对A球分析，由类平抛运动的规律可求得A球到达Q点的速度；
（2）对B球分析，由牛顿第二定律及动能定理分别分析可求得场强及电势差．

解答 解：（1）小球A在电场中受电场力F=E₁q；
竖直方向的加速度a=$\frac{{E}_{1}q}{m}$-g=$\frac{2g}{k}×k$-g=g
因小球恰好通过Q点，对小球有：
水平方向2d=v_xt
竖直方向d=$\frac{1}{2}$at²；
解得：v_x=$\sqrt{2gd}$；t=$\sqrt{\frac{2d}{g}}$
竖直分速度v_y=at=g×$\sqrt{\frac{2d}{g}}$=$\sqrt{2gd}$；
则Q点的合速度v=$\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=2$\sqrt{gd}$；
（2）B球沿直线运动，由于电场力和重力不能平衡，故应使合力的方向沿运动方向，由题意可知，小球只能做减速运动；
由位移公式可知：
2d=v₀t+$\frac{1}{2}$a₁t²
解得：a₁=-4g；
由平行四边形定则可知：电场力E₂q=$\sqrt{（mg）^{2}+（ma）^{2}}$=$\sqrt{17}mg$；
解得：E₂=$\frac{\sqrt{17}g}{k}$；
B球到达Q点的速度v_B=v₀+at=3$\sqrt{2gd}$-4g×$\sqrt{\frac{2d}{g}}$=-$\sqrt{2gd}$；
则对PQ过程由动能定理可知：
Uq=$\frac{1}{2}$mv_B²-$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：U=-$\frac{8gd}{k}$
答：（1）球到达Q点时的速度大小为2$\sqrt{gd}$；
（2）若A、B两球恰能相遇于Q点，P、Q两点的电势差U_PQ为-$\frac{8gd}{k}$；电场强度E₂为$\frac{\sqrt{17}g}{k}$

点评 本题考查带电粒子在电场中的运动，关键问题在于明确B物体只能做匀减速直线运动，这是本题的突破点！同时注意动能定理及类平抛运动的应用．