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    2．如图所示，一轻质弹簧的上端固定在倾角为30°的光滑斜面顶部，下端栓接小物块A，A通过一段细线与小物块B相连，系统静止时B恰位于斜面的中点．将细线烧断，发现当B运动到斜面底端时，A刚好第三次到达最高点．已知B的质量m=2kg，弹簧的劲度系数k=l00N/m，斜面长为L=5m，且始终保持静止状态，重力加速度g=l0m/s2．
    （i）试证明小物块A做简谐运动；
    （ii）求小物块A振动的振幅和周期．

    分析 （1）对A进行受力分析，得出受到的合力与位移x之间的关系，然后与简谐振动的公式比较即可得出结论；
    （2）求出开始时弹簧的伸长量，结合线断后A点的平衡位置，即可求出A的振幅；由牛顿第二定律求出B向下运动的时间，然后结合题目的条件求出A的周期．

    解答 解：（1）烧断细线后A向上运动，受力平衡时，设弹簧的伸长量为x0，则：kx0-mAgsin30°=0  ①
    选A的平衡位置处为坐标原点，沿斜面向下为正方向建立坐标系，用x表示A离开平衡位置的位移．当A运动到平衡位置下x位置时，物块A受到的合力为：
    F0=mAgsin30°-k（x-x0）  ②
    联立①②得：F0=-kx，可知A受到的合外力总是与物块的位移成反比，所以A做简谐振动．
    （2）开始时AB组成的系统静止时，设弹簧的伸长量为x1，根据胡克定律有：
    kx1-（mA+mB）gsin30°=0   ③
    所以：${x}_{1}=\frac{（{m}_{A}+{m}_{B}）sin30°}{k}$
    烧断细线后A从此位置开始向上运动，到达平衡位置运动的距离为物块A的振幅，则：
    A=${x}_{1}-{x}_{0}=\frac{mgsin30°}{k}$
    代入数据得：A=0.1m
    烧断细线后B向下做匀加速直线运动，则：mBgsin30°=mBa
    设B到达斜面底端的时间为t，则：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
    A向上运动经过$\frac{1}{2}$周期第一次到达最高点，则第三次到达最高点的时间：t=2.5T
    代入数据联立得：T=0.4s
    答：（i）证明小物块A做简谐运动如上；
    （ii）小物块A振动的振幅是0.1m，周期是0.4s．

    点评 该题以简谐振动为背景考查共点力平衡、牛顿第二定律的应用等重点知识点，解答的关键是抓住题目中不同情况下的受力．

    练习册系列答案
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