Question

19．如图所示，长为l=1m的平行板电容器，AB和CD两板的间距也为l．两板的带电性质如图．某粒子源沿平行板中心轴线发射出速度都为v₀=2×10⁴m/s的比荷为1×10⁴C/kg的正粒子．在平行板的右侧有3个荧光屏，分别放置在AB板B的边缘上方，CD板D边缘下方和距离BD右边x=$\frac{0.2}{\sqrt{3}}$m处，且足够大，屏和平行板垂直，如图所示，在BD和右板之间的区域内有磁感应强度大小B=0.1T的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．不考虑粒子的重力，认为平行板内为匀强电场，板外无电场．（答案可用根号表示）．
（1）若要求所有粒子都能从两板间射出，求两板能加电压的范围；
（2）讨论粒子打在荧光屏上的范围．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，根据类平抛运动规律求粒子通过电场所用的时间以及两极板间的电压大小；
（2）求出粒子平抛运动的偏转角，作出磁场中圆周运动的轨迹，由牛顿第二定律求出运动的半径，然后由几何关系确定半径，即可求出．

解答 解：（1）粒子在水平方向做匀速直线运动，运动的时间：$t=\frac{l}{{v}_{0}}=\frac{1}{2×1{0}^{4}}=5×1{0}^{-5}$m/s
若下极板带正电，上极板带负电，则正电荷受到的电场力的方向向上，设极板之间的电压为U时粒子恰好从B点射出，则：
$a=\frac{qU}{ml}$，
位移：$y=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}a{t}^{2}$
联立得：$U=\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$
代入数据得：U=4×10⁴V/m
即：${U}_{CA}=4×1{0}^{4}$V/m
若上极板带正电，下极板带负电，则正电荷受到的电场力的方向向下，粒子从D点射出．此时：${U}_{AC}=4×1{0}^{4}$V/m
所以要求所有粒子都能从两板间射出，两板能加电压的范围是$-4×1{0}^{4}V/m≤{U}_{AC}≤4×1{0}^{4}V/m$．
（2）粒子在向里的磁场中向右运动，由左手定则可知，粒子在磁场中受到的洛伦兹力的方向向上，所以粒子将向上偏转．
粒子从D点或从B点射出时，沿电场方向的分速度：${v}_{y}=at=\frac{qU}{ml}•\frac{l}{{v}_{0}}$=v₀
粒子的合速度：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}$
与水平方向之间的夹角：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}=1$，所以θ=45°
粒子在磁场中受到的洛伦兹力通过向心力，得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{r}$
所以：$r=\frac{mv}{qB}=\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{qB}=\frac{1}{1×1{0}^{4}}×\frac{\sqrt{2}×2×1{0}^{4}}{0.1}=20\sqrt{2}$m
带电粒子在磁场中运动的轨迹如图，则：
由于粒子射出的方向与水平方向之间的夹角都是45°，所以对于下侧的粒子则满足：
$（\frac{\sqrt{2}}{2}r+{y}_{1}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}r-x）^{2}={r}^{2}$
代入数据解得：y₁≈0.108m
到O′点的距离为：l+y₁=1.108m
对于下侧的粒子则满足：${（\frac{\sqrt{2}}{2}r-{y}_{2}）}^{2}+{（\frac{\sqrt{2}}{2}r+x）}^{2}={r}^{2}$
代入数据解得：y₂=0.115m
到O′点的距离为：l+y₂=1.115m
由图可知，没有粒子打在左侧的荧光屏上．
所以粒子打在荧光屏上的范围是-1.108m≤y≤1.115m．
答：（1）若要求所有粒子都能从两板间射出，两板能加电压的范围是$-4×1{0}^{4}V/m≤{U}_{AC}≤4×1{0}^{4}V/m$；
（2）粒子打在荧光屏上的范围是-1.108m≤y≤1.115m．．

点评 解得此类问题，首先要正确的对带电粒子在这两种情况下进行正确的受力分析，确定粒子的运动类型．解决带电粒子垂直射入电场的类型的题，应用平抛运动的规律进行求解．
该题中粒子的半径比较大，而磁场的宽度比较小，对解答的过程有一定的影响，使数据的运算比较复杂．