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3.如图所示,用一根长为L=1.0m不可伸长的细绳,一端固定在天花板上的O点,另一端系一小球A,在O点的正下方钉一钉子B,质量为m=lKg的小球由水平位置静止释放,取g=l0m/s2
(1)在O点的正下方如果没有钉子B,小球摆到最低点D时,小球速度多大?(6分)细绳的拉力是多大?
(2)如果细绳的最大承受力为135N,要使细绳碰到B后小球能以B为圆心做完整的圆周运动,求钉子B离O点的可能距离.

分析 (1)由静止释放小球,细绳的拉力不做功,根据动能定理列式可求得小球摆到最低点D时的速度大小;在最低点D,由重力和细绳拉力的合力提供小球的向心力,根据牛顿第二定律求解细绳的拉力大小.
(2)当细绳的拉力达到最大值135N时,点B离O最远,在最低点,由牛顿第二定律和向心力公式求B离O点的最大距离.小球刚好能过最高点C时,由重力提供向心力,由牛顿第二定律和动能定理结合求解点B离O是最近的距离,从而得到钉子B离O点的可能距离范围.

解答 解:(1)从A至D,应用动能定理,得:
mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-0
变形得:vD=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×1}$=2$\sqrt{5}$m/s
由圆周运动的规律及牛顿第二定律,有:
T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L}$
代入数据,运算得:T=30N
(2)①当T为135N时,点B离O最远,设为S1,在最低点,由牛顿第二定律有:
T-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{L-{S}_{1}}$
代入数值计算得:S1=0.84m
②设点B离O是最近的距离为S2,此时小球刚好能过最高点C.
在C点有,由牛顿第二定律有:mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{L-{S}_{2}}$
从D到C,应用动能定理有:
-mg•2(L-S2)=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
由以上两式得:S2=0.6m
因此,B离O点的距离可能为0.6m至0.84m.
答:(1)小球摆到最低点D时,小球速度是2$\sqrt{5}$m/s,细绳的拉力是30N.
(2)B离O点的距离可能为0.6m至0.84m.

点评 本题中要注意细绳碰到钉子前后转动半径的变化,再由向心力公式分析绳子上的拉力.小球摆到最低点虽与钉子相碰,但没有能量的损失.要抓住圆周运动最高点的临界条件:重力等于向心力.

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