Question

 一倾角α（α＜２°）的斜劈固定在水平地面上，高为h，光滑小球从斜劈顶点由静止开始下滑，到达底端Ｂ所用时间为t₁，将通过Ａ、Ｂ两点的斜劈剜成一个圆弧面，使圆弧面在Ｂ点与底面相切，小球从Ａ沿圆弧运动到Ｂ，所用时间为t₂，求t₁与t₂的比值。

Answer 1

4: π

要求两种运动时间的比值需要求出两种运动的时间，光滑小      
球从斜劈顶点由静止开始下滑，做匀加速直线运动，这是一个同学的熟悉
的运动模型，应用牛顿运动定律和运动学公式即可求解．但是把斜面剜成
圆弧面则不易求解．同学会感觉无从下手，无限分割，变曲为直，数学知识又跟不上，几乎无法求解．但是分析发现剜成圆弧面在Ｂ点与底面相切，以Ｂ点为中心，在其右侧补偿一个对称的圆弧面，小球的运动即变成了一个同学们都熟悉的简谐运动模型了，小球沿ＡＢ弧运动的时间为类单摆运
动周期的四分之一。
如图２（α），小球斜劈顶点，由静止开始，做匀加速直线运动，其加速度a=g?sina根据匀变速运动的位移公式　Ｓ＝at² 有
=at²=　g?sina?t²₁
∴ t₁=
将图２（b）以Ｂ点为中心，在其右侧补偿一个与ＡＢ圆弧对称的ＢＣ圆弧如图３，设ＡＢＣ圆弧的对应半径为Ｒ分析小球受力可知在a<2°的情况下，有２a<4°，小球在ＡＢＣ圆弧上的运动可近看作简谐运动，且有小球运动的回复力Ｆ＝－?x　周期为Ｔ＝２π,根据图示，
有L－h=2L?cos2a
∴ L==
∴ T=2π
t₂=T=?2π=?
∴ t₁:t₂＝?    ?="4:" π