1．下列函数中，是二次函数的为(　　 )

A．y=8x²+1　 B．y=8x+1　　 C．y=　 D．y=

2．下列五个命题：(1)两个端点能够重合的弧是等弧；(2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分(3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形(5)三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有(　　 )

A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个

3．二次函数y=(x﹣3)²+2的顶点坐标是(　　 )

A．(﹣3，﹣2)　 B．(3，2)　 C．(3，﹣2)　　　 D．(﹣3，1)

4．AB是⊙O的弦，∠AOB=88°，则弦AB所对的圆周角等于(　　 )

A．44°　 B．22°　　 C．44°或136°　　　 D．22°或68°

5．两条抛物线y=x²与y=﹣x²在同一坐标系内，下列说法中不正确的是(　　 )

A．顶点相同 B．对称轴相同　　 C．开口方向相反 D．都有最小值

6．如图，一种花边是由如图的弓形组成的，弦AB=8，弓形的高CD为2，则弧ACB的半径为(　　 )

A．8　　　 B．2　　　 C．5　　　 D．4

7．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD的度数(　　 )

A．30°　 B．40°　　 C．50°　　 D．60°

8．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=(　　 )

A．65°　 B．50°　　 C．130°　 D．80°

9．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是(　　 )

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断

10．二次函数y=kx²+2x+1(k＜0)的图象可能是(　　 )

A．　 B．　 C． D．

11．若抛物线y=ax²经过点A(，﹣9)，则其表达式为__________．

12．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC长为__________cm．

13．抛物线y=x²﹣2x+5的顶点坐标为__________，对称轴为直线x=__________．

14．若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于__________．

15．将抛物线y=2x²向上平移3个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线__________．

16．过⊙O内一点M最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，则OM=__________cm．

17．将二次函数式y=x²﹣2x+3配方成顶点式后，结果是__________．

18．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是__________．

20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=__________．

21．如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．(不写作法，尺规作图)

22．画出△ABC的内切圆．

23．计算：．

24．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C请在网格图中进行下列操作：

(1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，D点坐标为__________；

(2)连接AD，CD，则⊙D的半径为__________(结果保留根号)，扇形DAC的圆心角度数为__________；

(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为__________(结果保留根号)．

25．已知二次函数y=2x²﹣4x﹣6．

(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标．

(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标．

(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？

(4)x为何值时y≥0？

26．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

(1)求证：AC⊥OD；

(2)求OD的长；

(3)若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．

27．如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点是(﹣2，4)，且过点(﹣3，0)，求出二次函数解析式．

28．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标是(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．

29．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点与D，DE⊥AC．

(1)求证：△BAD∽△CED；

(2)求证：DE是⊙O的切线．

30．已知一元二次方程x²﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x²+bx+c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？

(3)点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．

2015-2016学年甘肃省张掖六中九年级(上)期末数学试卷

1．下列函数中，是二次函数的为(　　 )

A．y=8x²+1　 B．y=8x+1　　 C．y=　 D．y=

[考点]二次函数的定义．

[分析]根据二次函数的定义对各选项进行逐一分析即可．

[解答]解：A、y=8x²+1是二次函数，故本选项正确；

B、y=8x+1是一次函数，故本选项错误；

C、y=是反比例函数，故本选项错误；

D、y=是反比例函数，故本选项错误．

故选A．

[点评]本题考查的是二次函数的定义，熟知一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数是解答此题的关键．

2．下列五个命题：(1)两个端点能够重合的弧是等弧；(2)圆的任意一条弧必定把圆分成劣弧和优弧两部分(3)经过平面上任意三点可作一个圆；(4)任意一个圆有且只有一个内接三角形(5)三角形的外心到各顶点距离相等．其中真命题有(　　 )

A．1个　 B．2个　 C．3个　 D．4个

[考点]圆心角、弧、弦的关系．

[分析]能够重合的弧是等弧；半圆也是弧，把圆正好平分；经过不在同一直线上的三点才可以确定一个圆；圆有无数个内接三角形；三角形的外心到各顶点的距离相等．

[解答]解：(1)两个端点能够重合的弧是等弧；故错误．

(2)半圆是特殊的弧，是圆的一半，优弧是大于半圆的弧，劣弧是小于半圆的弧；故错误．

(3)经过平面上在同一直线上的三点不能确定一个圆；故错误．

(4)任意一个圆有无数个内接三角形，一个三角形只能确定一个外接圆；故错误．

(5)三角形的外心是三角形三边的垂直平分线，到各顶点的距离相等；故正确．

故选A．

[点评]本题考查了与圆有关的定理和推论，解题的关键是准确记忆有关的定理和推论，关注有关定理的条件和易错点．

3．二次函数y=(x﹣3)²+2的顶点坐标是(　　 )

A．(﹣3，﹣2)　 B．(3，2)　 C．(3，﹣2)　　　 D．(﹣3，1)

[考点]二次函数的性质．

[分析]根据二次函数的性质直接求解．

[解答]解：二次函数y=(x﹣3)²+2的顶点坐标是(3，2)．

故选B．

[点评]本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的顶点式为y=a(x﹣)²+，对称轴为直线x=﹣，顶点坐标为(﹣，)；抛物线与y轴的交点坐标为(0，c)．

4．AB是⊙O的弦，∠AOB=88°，则弦AB所对的圆周角等于(　　 )

A．44°　 B．22°　　 C．44°或136°　　　 D．22°或68°

[考点]圆周角定理．

[专题]分类讨论．

[分析]首先根据题意画出图形，然后由圆周角定理求得∠ACB的度数，由圆的内接四边形的性质求得∠ADB的度数，继而可求得答案．

[解答]解：如图，∵∠AOB=88°，

∴∠ACB=∠AOB=44°，

∴∠ADB=180°﹣∠ACB=136°．

∴弦AB所对的圆周角的度数为：44°或136°．

故选C．

[点评]此题考查了圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度不大，注意弦所对的圆周角是一对，且互补．

5．两条抛物线y=x²与y=﹣x²在同一坐标系内，下列说法中不正确的是(　　 )

A．顶点相同 B．对称轴相同　　 C．开口方向相反 D．都有最小值

[考点]二次函数的性质．

[分析]利用抛物线的性质解答即可．

[解答]解：两个函数的顶点坐标都是(0，0)，二次项的系数互为相反数，说明一个开口向上，一个开口向下．

故两条抛物线的交点为原点，两条抛物线关于x轴对称且两条抛物线关于原点对称；一个有最小值，一个有最大值．

故选D．

[点评]本题考查学生动手能力，只需快速画出简易图形即可求解．

6．如图，一种花边是由如图的弓形组成的，弦AB=8，弓形的高CD为2，则弧ACB的半径为(　　 )

A．8　　　 B．2　　　 C．5　　　 D．4

[考点]垂径定理的应用；勾股定理．

[分析]设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA，在构造的Rt△OAD中，利用垂径定理和勾股定理即可求出弧ACB的半径长．

[解答]解：设弧ACB所在圆的圆心为O，连接OC、OA，则OC与AB的交点即为D点，如图所示：

在Rt△OAD中，设OA=x，则OD=x﹣CD=x﹣2，AD=AB=4，

∴OA²=OD²+AD²，

即x²=(x﹣2)²+4²，

解得x=5；

故选C．

[点评]本题考查了垂径定理的应用、勾股定理；根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解决问题的关键．

7．如图，⊙O外接于△ABC，AD为⊙O的直径，∠ABC=30°，则∠CAD的度数(　　 )

A．30°　 B．40°　　 C．50°　　 D．60°

[考点]圆周角定理．

[分析]首先由∠ABC=30°，推出∠ADC=30°，然后根据AD为⊙O的直径，推出∠DCA=90°，最后根据直角三角形的性质即可推出∠CAD=90°﹣∠ADC，通过计算即可求出结果．

[解答]解：∵∠ABC=30°，

∴∠ADC=30°，

∵AD为⊙O的直径，

∴∠DCA=90°，

∴∠CAD=90°﹣∠ADC=60°．

故选：D．

[点评]本题主要考查圆周角定理，直角三角形的性质，角的计算，关键在于通过相关的性质定理推出∠ADC和∠DCA的度数．

8．如图，△ABC的三边分别切⊙O于D，E，F，若∠A=50°，则∠DEF=(　　 )

A．65°　 B．50°　　 C．130°　 D．80°

[考点]切线的性质．

[分析]连接OD，OF．运用圆周角定理求解．

[解答]解：连接OD，OF．

则∠ADO=∠AFO=90°，

∴∠DOF=180°﹣∠A=130°，

∴∠DEF=65°．

故选A．

[点评]本题利用圆中的有关性质和四边形内角和定理解题比较简便．其中涉及到圆周角定理和切线的性质．

9．已知⊙O的半径是6cm，点O到同一平面内直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系是(　　 )

A．相交 B．相切 C．相离 D．无法判断

[考点]直线与圆的位置关系．

[分析]设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线与圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．

[解答]解：设圆的半径为r，点O到直线l的距离为d，

∵d=5，r=6，

∴d＜r，

∴直线l与圆相交．

故选：A．

[点评]本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

10．二次函数y=kx²+2x+1(k＜0)的图象可能是(　　 )

A．　 B．　 C． D．

[考点]二次函数的图象．

[分析]由图象判定k＜0，可以判断抛物线对称轴的位置，抛物线与y轴的交点位置，选择符合条件的选项．

[解答]解：因为二次函数y=kx²+2x+1(k＜0)的图象开口向下，过点(0，1)，对称轴x=﹣＞0，

观察图象可知，符合上述条件的只有C．故选C．

[点评]应熟练掌握二次函数y=ax²+bx+c的图象有关性质：开口方向、顶点坐标、对称轴．

11．若抛物线y=ax²经过点A(，﹣9)，则其表达式为y=﹣3x²．

[考点]待定系数法求二次函数解析式．

[分析]若抛物线y=ax²经过点A(，﹣9)，则点A(，﹣9)就满足函数解析式，代入解析式就可以求出a的值，从而求出解析式．

[解答]解：把点A(，﹣9)代入解析式，得：3a=﹣9，

∵解得a=﹣3，

∴函数解析式是y=﹣3x²．

[点评]本题主要考查了函数解析式与函数图象之间的关系，满足解析式就一定在函数图象上，在函数图象上就一定满足解析式．

12．如下图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C和D两点，AB=10cm，CD=6cm，则AC长为2cm．

[考点]垂径定理．

[分析]根据题意：过O作OE⊥CD于E，根据垂径定理可以求出AE、CE的长度，AC的长度也就不难求出．

[解答]解：过O作OE⊥AB，垂足为E，

根据垂径定理，AE=AB=×10=5cm，

CE=CD=×6=3cm，

∴AC=AE﹣CE=5﹣3=2cm，

故答案为2．

[点评]本题主要考查垂径定理，作辅助线是解题的突破口．

13．抛物线y=x²﹣2x+5的顶点坐标为(1，4)，对称轴为直线x=1．

[考点]二次函数的性质．

[分析]先把二次函数化为顶点式的形式，再进行解答即可．

[解答]解：∵抛物线y=x²﹣2x+5可化为：抛物线y=(x﹣1)²+4，

∴其顶点坐标为(1，4)，对称轴x=1．

故答案为：(1，4)；1．

[点评]本题考查的是二次函数的性质，根据题意把原式化为顶点式的形式是解答此题的关键．

14．若圆的一条弦把圆分成度数比例为2：7的两条弧，则弦所对的圆心角等于40°或140°．

[考点]圆心角、弧、弦的关系．

[分析]圆的一条弦把圆分成度数之比为2：7的两条弧，则所分的劣弧的度数是80°，当圆周角的顶点在优弧上时，这条弦所对的圆周角等于44°，当这条弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，这条弦所对的圆周角等于140°．

[解答]解：如图所示，弦AB将⊙O分成了度数比为2：7两条弧．

连接OA、OB；

则∠AOB=×360°=80°；

①当所求的圆周角顶点位于D点时，

这条弦所对的圆周角∠ADB=∠AOB=40°；

②当所求的圆周角顶点位于C点时，

这条弦所对的圆周角∠ACB=180°﹣∠ADB=140°．

故答案为：40°或140°．

[点评]本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在解答此类问题时要注意是在“同圆或等圆中”才适用，这是此类问题的易错点．

15．将抛物线y=2x²向上平移3个单位，再向左平移2个单位，就得到抛物线y=2(x+2)²+3．

[考点]二次函数图象与几何变换．

[分析]根据题意得新抛物线的顶点(﹣2，3)，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可设新抛物线的解析式为：y=3(x﹣h)²+k，再把(﹣2，3)点代入即可得新抛物线的解析式．

[解答]解：原抛物线的顶点为(0，0)，向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为(﹣2，3)，

可得新抛物线的解析式为：y=2(x+2)²+3，

整理得出：y=2(x+2)²+3．

故答案为：y=2(x+2)²+3．

[点评]此题主要考查了二次函数图象与几何变换，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．

16．过⊙O内一点M最长的弦长为4cm，最短的弦长为2cm，则OM=cm．

[考点]垂径定理；勾股定理．

[分析]圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点M且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可．

[解答]解：如图所示，

∵AB=4cm，CD=2cm，

∴由垂径定理：OC=2cm，CM=1cm，

∴由勾股定理得：OM===(cm)，

故答案为：．

[点评]本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．

17．将二次函数式y=x²﹣2x+3配方成顶点式后，结果是y=(x﹣1)²+2．

[考点]二次函数的三种形式．

[专题]计算题．

[分析]利用配方法把一般式化为顶点式即可．

[解答]解：y=x²﹣2x+3=(x﹣1)²+2．

故答案为y=(x﹣1)²+2．

[点评]本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是(0，c)；顶点式：y=a(x﹣h)²+k(a，h，k是常数，a≠0)，其中(h，k)为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为(h，k)；交点式：y=a(x﹣x₁)(x﹣x₂)(a，b，c是常数，a≠0)，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标(x₁，0)，(x₂，0)．

18．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是70°．

[考点]圆周角定理．

[专题]计算题．

[分析]根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．

[解答]解：∵AC⊥BO，

∴∠ADB=90°，

∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，

∴∠BOC=2∠A=70°．

故答案为：70°．

[点评]本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

20．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．则△ABC的内切圆半径r=2．

[考点]三角形的内切圆与内心．

[专题]压轴题．

[分析]设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=(AC+BC﹣AB)，由此可求出r的长．

[解答]解：如图，

在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8；

根据勾股定理AB==10；

四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；

∴四边形OECF是正方形；

由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；

∴CE=CF=(AC+BC﹣AB)；

即：r=(6+8﹣10)=2．

[点评]此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法．

21．如图，A，B，C三点表示三个工厂，要建立一个供水站，使它到这三个工厂的距离相等，求作供水站的位置．(不写作法，尺规作图)

[考点]作图-应用与设计作图．

[分析]根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，故连接AB、AC．作出AB、AC的垂直平分线，两线的交点就是P点．

[解答]解：如图所示：点P即为所求．

[点评]此题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．

22．画出△ABC的内切圆．

[考点]作图-复杂作图；三角形的内切圆与内心．

[分析]分别作出∠ABC以及∠ACB的角平分线得出其交点O，再利用交点O到任意一边的距离为半径作圆得出答案．

[解答]解：如图所示：⊙O即为所求．

[点评]此题主要考查了复杂作图以及三角形外接圆作法，正确确定圆心的位置是解题关键．

23．计算：．

[考点]实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

[分析]分别进行绝对值、零指数幂及负整数指数幂的运算，继而合并运算即可．

[解答]解：原式=2+2×+1﹣(﹣1)

=2++1+1﹣

=4．

[点评]本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂及负整数幂的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．

24．如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A，B，C请在网格图中进行下列操作：

(1)请在图中确定该圆弧所在圆的圆心D的位置，D点坐标为；

(2)连接AD，CD，则⊙D的半径为(结果保留根号)，扇形DAC的圆心角度数为；

(3)若扇形DAC是某一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面半径为(结果保留根号)．

[考点]圆锥的计算；坐标与图形性质；确定圆的条件．

[专题]网格型．

[分析](1)根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，即可作出弦AB，BC的垂直平分线，交点即为圆心；

(2)根据勾股定理进行计算，连接DA，DC，根据SAS得到两个三角形全等△AOD≌△DCE，则∠ADC=90°；

(3)根据圆锥的底面周长等于弧长，进行计算．

[解答]解：(1)D点坐标为(2，0)；

(2)半径为=2，

∵OD=CE=2，OA=DE=4，∠AOD=∠CEO=90°，

∴△AOD≌△CDE，

∴∠OAD=∠CDE，

∴∠ADO+∠CDE=∠ADO+∠OAD=90°，

∴∠ADC=90°．

∴扇形DAC的圆心角度数为90°；

(3)设圆锥的底面半径是r，

则2πr=，

∴r=．

即该圆锥的底面半径为．

[点评]能够根据垂径定理作出圆的圆心，根据全等三角形的性质确定角之间的关系，掌握圆锥的底面半径的计算方法．

25．已知二次函数y=2x²﹣4x﹣6．

(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标．

(2)求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标．

(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？

(4)x为何值时y≥0？

[考点]二次函数的性质．

[专题]探究型．

[分析](1)将二次函数化为顶点式，即可得到抛物线的对称轴、顶点坐标；

(2)令y=0和x=0可以分别求得图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；

(3)根据二次项系数和对称轴，可以得到当x为何值时，y随x的增大而增大；

(4)根据二次项系数和与x轴的交点，可以得到x为何值时y≥0．

[解答]解：∵y=2x²﹣4x﹣6，

∴y=2(x﹣1)²﹣8，

∴该抛物线的对称轴为：直线x=1，顶点坐标是(1，﹣8)，

当y=0时，0=2x²﹣4x﹣6，可得，x₁=﹣1，x₂=3，

当x=0时，y=﹣6，

∴图象与x轴的交点坐标是(﹣1，0)或(3，0)，与y轴的交点坐标(0，﹣6)，

∵a=2＞0，对称轴为x=1，

∴当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴当x＜﹣1或x＞3时，y≥0，

由上可得，(1)抛物线的对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1，﹣8)；

(2)图象与x轴的交点坐标是(﹣1，0)或(3，0)，与y轴的交点坐标是(0，﹣6)；

(3)当＞1时，y随x的增大而增大；

(4)当x＜﹣1或x＞3时，y≥0．

[点评]本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，能将二次函数解析式化为顶点式，明确与x轴相交时y=0，与y轴相交时x=0，由二次项系数可以和对称轴得到y随x如何变化，在什么范围内y≥0．

26．如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

(1)求证：AC⊥OD；

(2)求OD的长；

(3)若2sinA﹣1=0，求⊙O的直径．

[考点]圆周角定理；三角形中位线定理；解直角三角形．

[专题]计算题；证明题．

[分析](1)根据直径所对的圆周角是直角，再根据平行线的性质即可证明；

(2)根据垂径定理得到AD=CD，再根据三角形的中位线定理进行求解；

(3)由已知可以求得∠A=30°，在直角三角形ABC中，根据30度所对的直角边是斜边的一半进行求解．

[解答](1)证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠C=90°．

∵OD∥BC，

∴∠ADO=∠C=90°．

∴AC⊥OD．

(2)解：∵OD∥BC，O是AB的中点，

∴OD是△ABC的中位线，

∴点D是AC的中点，

∴OD=BC=×4=2cm；

(3)解：∵2sinA﹣1=0，

∴sinA=．

∴∠A=30°．

在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴BC=AB．

∴AB=2BC=8(cm)．

即⊙O的直径是8cm．

[点评]此题综合考查了圆周角定理的推论、平行线等分线段定理、三角形的中位线定理、特殊角的锐角三角函数值．

27．如果二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点是(﹣2，4)，且过点(﹣3，0)，求出二次函数解析式．

[考点]待定系数法求二次函数解析式．

[分析]设出抛物线顶点形式，将(﹣3，0)代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式．

[解答]解：根据题意设抛物线解析式为y=a(x+2)²+4，

将(﹣3，0)代入得：a+4=0，

解得a=﹣4，

则抛物线解析式为y=﹣4(x+2)²+4．

[点评]此题考查了待定系数法确定二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

28．如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于A、B两点，点A的坐标是(0，4)，M是圆上一点，∠BMO=120°，求⊙C的半径和圆心C的坐标．

[考点]圆周角定理；坐标与图形性质；勾股定理；解直角三角形．

[专题]计算题．

[分析](1)由于∠AOB=90°，那么应连接AB，得到AB是直径．由∠BMO=120°可得到∠BAO=60°，易得OA=4，利用60°的三角函数，即可求得AB，进而求得半径．

(2)利用勾股定理可得OB长，作出OB的弦心距，利用勾股定理可得到C的横坐标的绝对值，同法可得到点C的横坐标．

[解答]解：(1)连接AB，AM，则由∠AOB=90°，故AB是直径，

由∠BAM+∠OAM=∠BOM+∠OBM=180°﹣120°=60°，

得∠BAO=60°，

又AO=4，故cos∠BAO=，AB==8，

从而⊙C的半径为4．

(2)由(1)得，BO==4，

过C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F，

则EC=OF=BO==2，CF=OE=OA=2．

故C点坐标为(﹣，2)．

[点评]本题用到的知识点为：90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．连接90°所对的弦，做弦心距是常用的辅助线方法．

29．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点与D，DE⊥AC．

(1)求证：△BAD∽△CED；

(2)求证：DE是⊙O的切线．

[考点]切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定．

[专题]证明题．

[分析](1)根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再根据等腰三角形的性质可得∠B=∠C，可得△BDA∽△CED；

(2)连接OD，根据平行线的判断与性质，易得OD⊥DE；且D是圆上一点，故可得DE是⊙O的切线．

[解答]证明：(1)∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

又∵BD=CD，

∴AB=AC，∠B=∠C．

∵∠CED=∠ADB=90°，

∴△BDA∽△CED．

(2)连接OD，

∵OA=OB，BD=CD，

∴OD∥AC．

又∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE．

所以DE是⊙O的切线．

[点评]本题考查常见的几何题型，包括切线的判定，相似三角形的证明，要求学生掌握常见的解题方法，并能结合图形选择简单的方法解题．

30．已知一元二次方程x²﹣4x+3=0的两根是m，n且m＜n．如图，若抛物线y=﹣x²+bx+c的图象经过点A(m，0)、B(0，n)．

(1)求抛物线的解析式．

(2)若(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为C．根据图象回答，当x取何值时，抛物线的图象在直线BC的上方？

(3)点P在线段OC上，作PE⊥x轴与抛物线交于点E，若直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，求点P的坐标．

[考点]二次函数综合题；解二元一次方程组；解一元二次方程-因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；抛物线与x轴的交点；三角形的面积．

[专题]计算题；压轴题．

[分析](1)求出方程的解，得到B、A的坐标，代入抛物线得到方程组，求出方程组的解即可；

(2)求出C的坐标，根据B、C的坐标求出即可；

(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为(a，0)，则E点坐标为(a，﹣a²﹣2a+3)，根据三角形的面积求出F的坐标，设直线BC的解析式是y=kx+b，把B、C的坐标代入求出直线BC，把F的坐标代入求出即可．

[解答]解：(1)∵x²﹣4x+3=0的两个根为　 x₁=1，x₂=3，

∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(0，3)，

又∵抛物线y=﹣x²+bx+c的图象经过点A(1，0)、B(0，3)两点，

∴，

∴抛物线的解析式为　 y=﹣x²﹣2x+3，

答：抛物线的解析式是 y=﹣x²﹣2x+3．

(2)作直线BC，

由(1)得，y=﹣x²﹣2x+3，

∵抛物线y=﹣x²﹣2x+3与x轴的另一个交点为C，令﹣x²﹣2x+3=0，

解得：x₁=1，x₂=﹣3，

∴C点的坐标为(﹣3，0)，

由图可知：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方，

答：当﹣3＜x＜0时，抛物线的图象在直线BC的上方．

(3)设直线BC交PE于F，P点坐标为(a，0)，则E点坐标为(a，﹣a²﹣2a+3)，

∵直线BC将△CPE的面积分成相等的两部分，

∴F是线段PE的中点(根据等底等高的三角形的面积相等)，

即F点的坐标是(a，)，

∵直线BC过点B(0.3)和C(﹣3，0)，

设直线BC的解析式是y=kx+b　 　(k≠0)，代入得：，

∴

∴直线BC的解析式为y=x+3，

∵点F在直线BC上，

∴点F的坐标满足直线BC的解析式，

即=a+3

解得　 a₁=﹣1，a₂=﹣3(此时P点与点C重合，舍去)，

∴P点的坐标是(﹣1，0)，

答：点P的坐标是(﹣1，0)．

[点评]本题主要考查对用待定系数法求一次函数的解析式，二次函数与X轴的交点，解一元二次方程，解二元一次方程组，三角形的面积等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．