1．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x²﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为(　　 )

A．13　　 B．15　　 C．18　　 D．13或18

2．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，⊙C的半径为2.5cm，则⊙C与直线的位置关系是(　　 )

A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交

3．函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是(　　 )

A．　　　 B．　 C．　 D．

4．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是(　　 )

A．24cm　　　 B．48cm C．96cm D．192cm

5．下列说法正确的是(　　 )

A．“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件

B．“任意画一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件

C．“概率为0.000001的事件”是不可能事件

D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数一定是5

6．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，若点A(﹣1，y₁)，B(﹣2，y₂)是其图象上的两点，则y₁与y₂的大小关系是(　　 )

A．y₁＞y₂　　　 B．y₁=y₂　　　 C．y₁＜y₂　　　 D．无法确定

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(　　 )

A．45°　 B．85°　　 C．90°　　 D．95°

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为(　　 )

A．4π　　 B．2π　　 C．π　　　 D．

9．方程x²+2x=0的解为__________．

10．把抛物线y=2x²+4x+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的原点坐标是__________．

11．某省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展，快递业务量猛增，2015年达到4.5亿件．设这两年的平均增长率为x，则可列方程__________．

12．反比例函数y=的图象如图所示，有下列结论：

①m＜﹣1；

②在每个象限，y随x的增大而增大；

③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在函数图象上，则h＜k；

④若点P(x，y)在函数图象上，则点Q(﹣x，﹣y)也在函数图象上．

其中正确的是(填序号即可)__________．

13．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的坐标系，其函数关系式为

y=﹣x²，当水面离桥拱顶的高度OD是4m时，水面的宽度AB为__________m．

14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为__________．

15．有四张不透明的卡片，正面分别写有下列函数关系式：y=；y=﹣x；y=x²；y=2x+1，除正面的函数关系式不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张，则抽到的函数图象不经过第四象限的概率是__________．

16．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．

(1)求证：CB∥PD；

(2)若BC=3，BE=2，求CD的长．

17．已知关于x的一元二次方程x²+(2m﹣1)x+4=0有两个相等的实数根．

(1)求m的值；

(2)求原方程的实数根．

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(1，4)和B(n，﹣2)．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是__________．

19．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

(1)如图(1)，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠DAB的度数；

(2)如图(2)，当直线l与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．

20．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．

(1)请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率．

21．甲经销商库存有1200套A牌服装，每套进价400元，售价500元，一年内可卖完．现市场流行B品牌服装，每套进价300元，售价600元，一年内B品牌服装销售无积压，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=﹣x+360(100≤x≤1200)，若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W(元)．

(1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q₁(元)与x(套)之间的函数关系式；

(2)求B品牌服装的销售款Q₂(元)与x(套)之间的函数关系式；

(3)求W(元)与x(套)之间的函数关系式，并求转让多少套时，所获总利润W最大，最大值是多少．

22．如图，CD是⊙O的直径，且CD=4cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．

(1)连接AC，若∠APO=30°，求证：△ACP是等腰三角形；

(2)顺次连结A、O、B、D，若四边形AOBD是菱形，求DP的长；

(3)填空：当DP=__________cm时，四边形AOBP是正方形．

23．如图，抛物线y=x²﹣bx+c与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，已知A点坐标为(1，0)，抛物线的对称轴为直线x=2．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

2015-2016学年河南省三门峡市渑池县九年级(上)期末数学试卷

1．三角形两边长分别为3和6，第三边的长是方程x²﹣13x+36=0的两根，则该三角形的周长为(　　 )

A．13　　 B．15　　 C．18　　 D．13或18

[考点]解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．

[分析]先求出方程x²﹣13x+36=0的两根，再根据三角形的三边关系定理，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．

[解答]解：解方程x²﹣13x+36=0得，

x=9或4，

即第三边长为9或4．

边长为9，3，6不能构成三角形；

而4，3，6能构成三角形，

所以三角形的周长为3+4+6=13，

故选：A．

[点评]此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形的三边关系，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯．

2．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=4cm，⊙C的半径为2.5cm，则⊙C与直线的位置关系是(　　 )

A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交

[考点]直线与圆的位置关系．

[分析]过C作CD⊥AB于D，由含30°角的直角三角形的性质求出CD，得出d＜r，根据直线和圆的位置关系即可得出结论．

[解答]解：过C作CD⊥AB于D，如图所示：

则∠CDB=90°，

∵∠B=30°，BC=4cm，

∴CD=BC=2cm，

∵⊙C的半径为2.5cm，

∴d＜r，

∴⊙C与直线AB的关系是相交，

故选：C．

[点评]本题考查了直线和圆的位置关系、含30°角的直角三角形的性质；解此题的关键是能正确作出辅助线，求出CD的长，注意：直线和圆的位置关系有：相离，相切，相交．

3．函数y=kx+b与函数y=在同一坐标系中的大致图象正确的是(　　 )

A．　　　 B．　 C．　 D．

[考点]反比例函数的图象；一次函数的图象．

[专题]压轴题；探究型．

[分析]根据反比例函数与一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可．

[解答]解：A、∵由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，∴kb＞0，∴反比例函数的图象应在一、三象限，故本选项错误；

B、∵由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数的图象应在二、四象限，此图象符合题意，故本选项正确；

C、∵由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴反比例函数的图象应在二、四象限，故本选项错误；

D、∵由一次函数的图象可知k＜0，b＞0，∴kb＜0，∴反比例函数的图象应在二、四象限，故本选项错误．

故选B．

[点评]本题考查的是反比例函数及一次函数的图象，解答此类问题时要先根据一个函数图象判断出kb的符号，再根据另一函数的图象与系数的关系看是否符合此条件即可．

4．已知一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计)，圆锥的底面圆的直径是80cm，则这块扇形铁皮的半径是(　　 )

A．24cm　　　 B．48cm C．96cm D．192cm

[考点]圆锥的计算．

[分析]利用底面周长=展开图的弧长可得．

[解答]解：设这个扇形铁皮的半径为rcm，由题意得=π×80，

解得r=48．

故这个扇形铁皮的半径为48cm，

故选B．

[点评]本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是确定圆锥的底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后由扇形的弧长公式和圆的周长公式求值．

5．下列说法正确的是(　　 )

A．“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件

B．“任意画一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件

C．“概率为0.000001的事件”是不可能事件

D．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数一定是5

[考点]随机事件．

[分析]根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可．

[解答]解：“任意画一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，A错误；

“任意画一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，B正确；

“概率为0.000001的事件”是随机事件，C错误；

任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数不一定是5，D错误，

故选：B．

[点评]本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6．二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，若点A(﹣1，y₁)，B(﹣2，y₂)是其图象上的两点，则y₁与y₂的大小关系是(　　 )

A．y₁＞y₂　　　 B．y₁=y₂　　　 C．y₁＜y₂　　　 D．无法确定

[考点]二次函数图象上点的坐标特征．

[专题]数形结合．

[分析]利用函数图象可判断点A(﹣1，y₁)，B(﹣2，y₂)都在直线x=2左侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断y₁与y₂的大小．

[解答]解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，

∴点A(﹣1，y₁)，B(﹣2，y₂)都在直线x=2左侧的抛物线上，

∴y₁＞y₂．

故选A．

[点评]本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是判断点A和点B都在对称轴的左侧．

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是(　　 )

A．45°　 B．85°　　 C．90°　　 D．95°

[考点]圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．

[分析]根据圆周角定理以及推论和角平分线的定义可分别求出∠BAC和∠CAD的度数，进而求出∠BAD的度数．

[解答]解：∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∵∠C=50°，

∴∠BAC=40°，

∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，

∴∠ABD=∠DBC=45°，

∴∠CAD=∠DBC=45°，

∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=40°+45°=85°，

故选：B．

[点评]本题考查的是圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角．

8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=，则阴影部分图形的面积为(　　 )

A．4π　　 B．2π　　 C．π　　　 D．

[考点]扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．

[专题]数形结合．

[分析]连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

[解答]解：连接OD．

∵CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=(垂径定理)，

故S_△OCE=S_△ODE，

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又∵∠CDB=30°，

∴∠COB=60°(圆周角定理)，

∴OC=2，

故S_扇形OBD==，即阴影部分的面积为．

故选：D．

[点评]此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．

9．方程x²+2x=0的解为0，﹣2．

[考点]解一元二次方程-因式分解法．

[专题]计算题．

[分析]本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．

[解答]解：x²+2x=0

x(x+2)=0

∴x=0或x+2=0

∴x=0或﹣2

故本题的答案是0，﹣2．

[点评]本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

10．把抛物线y=2x²+4x+1向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的原点坐标是(1，﹣2)．

[考点]二次函数图象与几何变换．

[分析]先写成平移前的抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移，纵坐标减解答即可．

[解答]解：∵抛物线y=2x²+4x+1=2(x+1)²﹣1，

∴顶点坐标为(﹣1，﹣1)，

∵向右平移2个单位，向下平移1个单位，

∴所得抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，

故答案为：(1，﹣2)．

[点评]本题考查了二次函数图形与几何变换，是基础题，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．

11．某省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展，快递业务量猛增，2015年达到4.5亿件．设这两年的平均增长率为x，则可列方程1.4(1+x)²=4.5．

[考点]由实际问题抽象出一元二次方程．

[专题]增长率问题．

[分析]根据题意可得：2013年的快递业务量×(1+增长率)²=2015年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可．

[解答]解：设2014年与2015年这两年的平均增长率为x，由题意得：

1.4(1+x)²=4.5．

故答案为：1.4(1+x)²=4.5．

[点评]此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)²=b．

12．反比例函数y=的图象如图所示，有下列结论：

①m＜﹣1；

②在每个象限，y随x的增大而增大；

③若点A(﹣1，h)，B(2，k)在函数图象上，则h＜k；

④若点P(x，y)在函数图象上，则点Q(﹣x，﹣y)也在函数图象上．

其中正确的是(填序号即可)③④．

[考点]反比例函数的性质．

[分析]根据反比例函数图象与系数的关系，以及反比例函数图象的对称性进行分析判断即可．

[解答]解：①由反比例函数图象经过第一、三象限，则m＞0，故①错误；

②由反比例函数图象知，在每个象限，y随x的增大而减小，故②错误；

③由反比例函数图象知，点A位于第三象限，点B位于第一象限，所以h＜0，k＞0，则h＜k，故③正确；

④反比例函数图象关于原点对称，所以若点P(x，y)在函数图象上，则点Q(﹣x，﹣y)也在函数图象上，故④正确．

故答案是：③④．

[点评]本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y=，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大．

13．一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形．建立如图所示的坐标系，其函数关系式为

y=﹣x²，当水面离桥拱顶的高度OD是4m时，水面的宽度AB为20m．

[考点]二次函数的应用．

[分析]根据题意，把y=﹣4直接代入解析式即可解答．

[解答]解：根据题意B的纵坐标为﹣4，

把y=﹣4代入y=﹣x²，

得x=±10，

∴A(﹣10，﹣4)，B(10，﹣4)，

∴AB=20m．

即水面宽度AB为20m．

故答案为：20．

[点评]此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．

14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以点A为圆心，AB长为半径画圆弧交边DC于点E，则的长度为．

[考点]弧长的计算；含30度角的直角三角形．

[分析]连接AE，根据直角三角形的性质求出∠DEA的度数，根据平行线的性质求出∠EAB的度数，根据弧长公式求出的长度．

[解答]解：连接AE，

在Rt三角形ADE中，AE=4，AD=2，

∴∠DEA=30°，

∵AB∥CD，

∴∠EAB=∠DEA=30°，

∴的长度为：=，

故答案为：．

[点评]本题考查的是弧长的计算和直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半和弧长公式是解题的关键．

15．有四张不透明的卡片，正面分别写有下列函数关系式：y=；y=﹣x；y=x²；y=2x+1，除正面的函数关系式不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中抽取一张，则抽到的函数图象不经过第四象限的概率是．

[考点]概率公式．

[专题]计算题．

[分析]利用反比例函数、一次函数和二次函数的性质可判断函数y=，y=2x+1，y=x²的图象不经过第四象限，然后根据概率公式可求出抽到的函数图象不经过第四象限的概率．

[解答]解：下列函数关系式：y=；y=﹣x；y=x²；y=2x+1中，函数y=，y=2x+1，y=x²的图象不经过第四象限，

所以函数图象不经过第四象限的概率=．

[点评]本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．

16．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在圆O上且∠1=∠C．

(1)求证：CB∥PD；

(2)若BC=3，BE=2，求CD的长．

[考点]垂径定理；勾股定理；圆周角定理．

[分析](1)要证明CB∥PD，只要证明∠1=∠P；由∠1=∠C，∠P=∠C，可得∠1=∠P，即可解决问题．

(2)首先运用勾股定理求出CE的长度，然后运用垂径定理证明CE=DE，即可解决问题．

[解答](1)证明：如图，∵∠1=∠C，∠P=∠C，

∴∠1=∠P，

∴CB∥PD．

(2)解：∵CE⊥BE，

∴CE²=CB²﹣BE²，而CB=3，BE=2，

∴CE=；而AB⊥CD，

∴DE=CE，CD=2CE=2．

[点评]主要考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点及其应用问题；牢固掌握圆周角定理、垂径定理、勾股定理等几何知识点是基础，灵活运用、解答是关键．

17．已知关于x的一元二次方程x²+(2m﹣1)x+4=0有两个相等的实数根．

(1)求m的值；

(2)求原方程的实数根．

[考点]根的判别式．

[分析](1)因为方程有两个相等的实数根，则△=(2m﹣1)²﹣16=0，解关于m的方程即可；

(2)代入m的数值，得出方程求得方程的解即可．

[解答]解：(1)∵关于x的一元二次方程x²+(2m﹣1)x+4=0有两个相等的实数根，

∴△=(2m﹣1)²﹣16=0，

解得：m₁=，m₂=﹣；

(2)当m=时，原方程为x²+4x+4=0，

解得：x=﹣2；

当m₂=﹣时，原方程为x²﹣4x+4=0，

解得：x=2．

[点评]本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式△=b²﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．以及解一元二次方程的方法．

18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于点A(1，4)和B(n，﹣2)．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜1．

[考点]反比例函数与一次函数的交点问题．

[分析](1)先将A(1，4)代入y=可求出k的值确定反比例函数解析式，再把B点坐标代入反比例函数解析式求出n确定B点坐标为(﹣2，﹣2)，然后利用待定系数法求一次函数的解析式；

(2)观察函数图象得到当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方．

[解答]解：(1)将A(1，4)代入y=得k=1×4=4，

∴反比例函数为y=，

将B(n，﹣2)代入y=得﹣2=，解得n=﹣2，

∴B点坐标为(﹣2，﹣2)

将A(1，4)、B(﹣2，﹣2)代入y=ax+b得，解得，

∴一次函数为y=2x+2；

(2)由图象可知x＜﹣2或0＜x＜1．

故答案为x＜﹣2或0＜x＜1．

[点评]本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

19．已知直线l与⊙O，AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D．

(1)如图(1)，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=35°，求∠DAB的度数；

(2)如图(2)，当直线l与⊙O相交于点E、F时，求证：∠DAE=∠BAF．

[考点]切线的性质．

[专题]证明题．

[分析](1)连接OC，如图1，根据切线的性质得OC⊥l，加上AD⊥l，则AD∥OC，所以∠OCA=∠DAC=35°，由于∠OAC=∠OCA=35°，易得∠DAB=70°；

(2)连结BF，如图2，先根据圆周角定理得到∠AFB=90°，再根据圆内接四边形的性质得∠AED=∠ABF，然后利用等角的余角相等即可得到结论．

[解答](1)解：连接OC，如图1，

∵直线l与⊙O相切于点C，

∴OC⊥l，

∵AD⊥l，

∴AD∥OC，

∴∠OCA=∠DAC=35°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=35°，

∴∠DAB=∠DAC+∠OAC=35°+35°=70°；

(2)证明：连结BF，如图2，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB=90°，

∵AD⊥EF，

∴∠ADE=90°，

∵∠AED=∠ABF，

∴∠DAE=∠BAF．

[点评]本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．

20．有甲、乙两个不透明的盒子，甲盒子中装有3张卡片，卡片上分别写着3cm、7cm、9cm；乙盒子中装有4张卡片，卡片上分别写着2cm、4cm、6cm、8cm；盒子外有一张写着5cm的卡片．所有卡片的形状、大小都完全相同．现随机从甲、乙两个盒子中各取出一张卡片，与盒子外的卡片放在一起，用卡片上标明的数量分别作为一条线段的长度．

(1)请用树状图或列表的方法求这三条线段能组成三角形的概率；

(2)求这三条线段能组成直角三角形的概率．

[考点]列表法与树状图法；勾股定理的逆定理．

[分析](1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这三条线段能组成三角形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；

(2)首先由树状图求得这三条线段能组成直角三角形的情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．

[解答]解：(1)画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，这三条线段能组成三角形的有7种情况，

∴这三条线段能组成三角形的概率为：；

(2)∵这三条线段能组成直角三角形的只有：3cm，4cm，5cm；

∴这三条线段能组成直角三角形的概率为：．

[点评]此题考查了树状图法与列表法求概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21．甲经销商库存有1200套A牌服装，每套进价400元，售价500元，一年内可卖完．现市场流行B品牌服装，每套进价300元，售价600元，一年内B品牌服装销售无积压，但一年内只允许经销商一次性订购B品牌服装，因甲经销商无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，用转让来的资金购进B品牌服装，并销售，经与乙经销商协商，甲、乙双方达成转让协议，转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=﹣x+360(100≤x≤1200)，若甲经销商转让x套A品牌服装，一年内所获总利润为W(元)．

(1)求转让后剩余的A品牌服装的销售款Q₁(元)与x(套)之间的函数关系式；

(2)求B品牌服装的销售款Q₂(元)与x(套)之间的函数关系式；

(3)求W(元)与x(套)之间的函数关系式，并求转让多少套时，所获总利润W最大，最大值是多少．

[考点]二次函数的应用．

[分析](1)直接根据销售款=售价×套数即可得出结论；

(2)根据转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=﹣x+360(100≤x≤1200)得出总件数，再与售价相乘即可；

(3)把(1)(2)中的销售款相加再减去成本即可．

[解答]解：(1)∵甲经销商库存有1200套A品牌服装，每套售价500元，转让x套给乙，

∴Q₁=500×(1200﹣x)=﹣500x+600000(100≤x≤1200)；

(2)∵转让价格y(元/套)与转让数量x(套)之间的函数关系式为y=﹣x+360(100≤x≤1200)，B品牌服装，每套进价300元，

∴转让后每套的价格=元，

∴Q₂=×600=﹣x²+720x(100≤x≤1200)；

(3)∵由(1)、(2)知，Q₁=﹣500x+600000，Q₂=﹣x²+720x，

∴W=Q₁+Q₂﹣400×1200=﹣500x+600000﹣x²+720x﹣480000=﹣(x﹣550)²+180500，

当x=550时，W有最大值，最大值为180500元．

[点评]本题考查的是二次函数的应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

22．如图，CD是⊙O的直径，且CD=4cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．

(1)连接AC，若∠APO=30°，求证：△ACP是等腰三角形；

(2)顺次连结A、O、B、D，若四边形AOBD是菱形，求DP的长；

(3)填空：当DP=2﹣2cm时，四边形AOBP是正方形．

[考点]圆的综合题．

[分析](1)如图1，连接AO，根据切线的性质得到∠PAO=90°，根据三角形内角和得到∠AOP=60°，根据等腰三角形的性质得到∠C=∠CAO=30°，即可得到结论；

(2)由四边形AOBD是菱形，得到AO=AD，由于AO=OD，推出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOD=60°，根据直角三角形的性质得到PO=2AO=2DO，即可得到结论；

(3)当DP=(2﹣2)cm时，四边形AOBP是正方形．由四边形AOBP是正方形，于是得到AO=AP，∠OAP=∠APB=∠AOB=90°，根据切线长定理得到∠APO=∠BPO=APB=45°，得到∠AOP=45°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

[解答]解：(1)如图1，连接AO，

∵PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

∵∠APO=30°，

∴∠AOP=60°，

∵OA=OC，

∴∠C=∠CAO=30°，

∴∠C=∠APO，

∴△ACP是等腰三角形；

(2)∵四边形AOBD是菱形，

∴AO=AD，

∵AO=OD，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠AOD=60°，

∴PO=2AO=2DO，

∴PD=OD=CD=4=2cm；

(3)当DP=(2﹣2)cm时，四边形AOBP是正方形．

∵四边形AOBP是正方形，

∴AO=AP，∠OAP=∠APB=∠AOB=90°，

∵点P作⊙O的切线PA、PB，切点分别为A、B．

∴∠APO=∠BPO=APB=45°，

∴∠AOP=45°，

∵OA=OP=CD=2，

∴PO=OA=2，

∴PD=PO﹣OD=(2﹣2)cm．

故答案为：2﹣2．

[点评]本题考查了切线的性质，菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

23．如图，抛物线y=x²﹣bx+c与x轴交于A、C两点，与y轴交于B点，已知A点坐标为(1，0)，抛物线的对称轴为直线x=2．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求△ABC的面积；

(3)若点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

[考点]二次函数综合题．

[分析](1)根据A和C关于x=2对称即可求得C的坐标，然后把A和C的坐标代入抛物线解析式求得b和C的值，得到抛物线解析式；

(2)首先求得AC的长，然后利用三角形面价公式求解；

(3)直线BC与对称轴x=2的交点就是P，首先利用待定系数法求得BC的解析式，进而求得P的坐标．

[解答]解：(1)A(1，0)关于x=2的对称点是(3，0)，则C的坐标是(3，0)．

根据题意得：，

解得：，

则抛物线的解析式是y=x²﹣4x+3；

(2)AC=3﹣1=2，

则S_△ABC=AC•OB=×2×3=3；

(3)C是A关于对称轴的对称点，则BC与对称轴的交点就是P．

设BC的解析式是y=kx+d，

则，

解得：，

则直线BC的解析式是y=﹣x+3．

当x=2时，y=﹣2+3=1，

则P的坐标是(2，1)．

[点评]本题考查了待定系数法求函数解析式，正确理解P的位置是本题的关键．