在现实生活中，我们的周围存在着各种各样的物体，它们具有不同的几何形状。

由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体。

下面请同学们观察课本P2图1.1-1的物体，它们具有什么样的几何结构特征？你能对它们进行分类吗？分类的依据是什么？

学生观察思考，最后归类总结。

上图中的物体大体可分为两大类：

(一)由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。

(二)由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。

这节课我们主要学习多面体--柱、锥的结构特征。

1. 棱柱的结构特征：

请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(2)(5)(7)(9)中的几何体，并寻找它们的共同特征。(师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念)

(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

(2)棱柱的有关概念：(出示右图模型，边对照模型边介绍)

棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面(简称底)，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

(3)棱柱的分类：按底面的多边形的边数分，有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

(4)棱柱的表示

用底面各顶点的字母表示，如右图的六棱柱可表示为“棱柱”

思考1：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是不是棱柱？

解答：不是棱柱。据反例。如右图几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱。

2．棱锥的结构特征：

请同学们根据刚才的分类，再对比一下图1.1-1中(14)(15)中的物体，并寻找它们的共同特征。

(师生共同讨论，总结出棱柱的定义及其相关概念)

(1)定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一公共点的三角形，

由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

(2)棱锥的有关概念：(出示右图模型，边对照模型边介绍)

棱锥中，这个多边形面叫做棱锥的底面或底，有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

(3)棱锥的分类：

按底面的多边形的边数分，有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

(4)棱锥的表示

用底面各顶点的字母表示，如右图的四棱锥可表示为“棱锥”

讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？

棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形

棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.

3．圆柱、圆锥的结构特征：

(1)观察图1.1-1中的(1)(3)(6)(8)的物体，并思考：圆柱、圆锥如何形成？

(2) 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴,其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥.

(3)圆柱、圆锥的有关概念：( 参照课本图1.1-7和1.1-8的模型，边对照模型边介绍)

在圆柱中，旋转的轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。

圆锥中的轴、底面、侧面、母线，请学生自己仿照圆柱的定义归纳总结。

(4)圆柱、圆锥的表示方法：

圆柱、圆锥都用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-7中的圆柱表示为圆柱O’O，图1.1-8中的圆锥表示为圆锥SO.

(5)讨论：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？　

圆柱和棱柱统称为柱体；棱锥和圆锥统称为锥体.

1. 练习：教材P7　 1、2题.

2. 已知圆锥的轴截面等腰三角形的腰长为 5cm,,面积为12cm,求圆锥的底面半径.

3.已知圆柱的底面半径为3cm,,轴截面面积为24cm,求圆柱的母线长.

　 棱柱、棱锥及圆柱、圆锥的结构特征。

教材P8　 习题1.1，第1题

课后记：

课题：台、球体及简单几何体的结构特征

课　　 型：新授课

教学目标：

通过实物模型，观察大量的空间图形，认识台体、球体及简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括出台体、球体及简单几何体的结构特征。

教学难点：台、球体及简单几何体的结构特征的概括.

教学过程：

1. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出：定义、分类、表示。

2. 结合棱柱、棱锥、圆柱、圆锥的几何图形，说出各几何体的一些几何性质？

1. 棱台与圆台的结构特征：

(1)思考：用一个平行于底面的平面去截柱体和锥体，所得几何体有何特征？

(2)定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分叫做棱台；用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分叫做圆台.

　 列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是棱台和圆台？

(3)结合课本图1.1-6认识：

棱台的上、下底面、侧面、侧棱、顶点.

结合课本图1.1-9认识：

圆台的上、下底面、侧面、母线、轴。

(4)棱台的分类及表示：

　 由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等；

　 棱台用表示底面各顶点的字母表示，例如图1.1-6中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’.

(5) 圆台的表示:

　 圆台用表示它的轴的字母表示，例如图1.1-9的圆台表示为圆台O’O.

(6)讨论：棱台、圆台分别具有一些什么几何性质？

　 棱台：两底面所在平面互相平行；两底面是对应边互相平行的相似多边形；侧面是梯形；侧棱的延长线相交于一点.

　 圆台：两底面是两个半径不同的圆；轴截面是等腰梯形；任意两条母线的延长线交于一点；母线长都相等.

棱台与圆台统称为台体。

2．球体的结构特征：

(1) 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体，叫球体，简称球.

列举生活中的实例，并找出图1.1-1中哪些物体是球体？

(2)结合课本图1.1-10认识：球心、半径、直径.

在球中，半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。

(3) 球的表示：

　　 球常用表示球心的字母表示，例如图1.1-10中的球表示为球O。

(4) 讨论：球与圆柱、圆锥、圆台有何关系？(旋转体)

棱台与棱柱、棱锥有什么共性？(多面体)

3. 简单组合体的结构特征：

(1)讨论：现实世界中物体表示的几何体，除了柱体、锥体、台体、球体等简单几何体外，还有哪些物体存在？

例如矿泉水塑料瓶由哪些几何体构成？灯管呢？

(2) 定义：由简单几何体(如柱、锥、台、球等)组合而成的几何体叫简单组合体.

　 列举生活中的实例。

(3)简单组合体的构成形式：

　　 一种是由简单几何体拼接而成，例如课本图1.1-11中(1)(2)物体表示的几何体；

　　 一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，例如课本图1.1-11中(3)(4)物体表示的几何体。

1. 练习：课本P8 A组 2-5题.

2. 已知长方体的长、宽、高之比为4∶3∶12，对角线长为26cm, 则长、宽、高分别为多少？

3. 棱台的上、下底面积分别是25和81，高为4，求截得这棱台的原棱锥的高

4. 若棱长均相等的三棱锥叫正四面体，求棱长为a的正四面体的高.

本节课学习了台、球体及简单几何体的定义、表示；并探究了它们的性质及分类，重点要把握它们的结构特征。

习题1.1 B组 第1- 2题

课后记：

课题：中心投影与平行投影

及简单几何体的三视图

课　　 型：新授课

教学目标：

1、了解中心投影和平行投影的原理；

2、能利用正投影绘制空间图形的三视图，并根据所给的三视图识别该几何体。

教学重点：投影的概念及三视图的画法。

教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.

教学过程：

1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。” 对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上.

　 三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；

　 直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形.

　 用途：工程建设、机械制造、日常生活.

1. 中心投影与平行投影：

我们知道，物体在灯光或日光的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子，这是一种自然现象。投影就是由这类自然现象抽象出来的。所谓投影，是光线(投射线)通过物体，向选定的面(投影面)投射，并在该面上得到图形的方法。生活中有许多利用投影的例子，如手影表演，皮影戏等。

我们把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。

中心投影的优缺点：它能非常逼真的反映原来的物体，主要应用于绘画领域，也常用来概括的描绘一个结构或一个产品的外貌。由于投影中心，投影面和物体的相对位置改变时，直观图的大小和形状亦将改变，因此在另外的一些领域，比如工程制图或技术图样，一般不采用中心投影。

我们把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。(如图)

我们所讲的视图就是将物体按正投影向投影面投射所得到的图形。三视图就是从三个不同的视角看空间物体的结构，只有这样才能客观的反映物体。所以我们在现实生活中，也要从多个角度看待问题，否则就如瞎子摸象。

现在我们比较详细的了解了三视图，接下来，我们就来画物体的三视图。

2. 柱、锥、台、球的三视图：

(1)三视图的定义：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

(2)讨论：三视图与平面图形的关系？

画出长方体的三视图(教师在讲台上给出模型，并在黑板上画出三视图)

注意：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边。

讨论：三视图中反应的长、宽、高的特点？

“长对正”，“高平齐”，“宽相等”

(3)　　　 结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面(自前而后)、侧面(自左而右)、上面(自上而下)三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果.

即正视图、侧视图、俯视图：

(4)试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. (学生自己动手画图)

(5)讨论：

三视图，分别反应物体的哪些关系(上下、左右、前后)？哪些数量(长、宽、高)？

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

　侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

(6) 讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状.

　 (试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放)

(1) 画出正四棱锥的三视图.

(2)画出右图所示几何体的三视图.

　右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.

1、画出右图三棱柱的三视图。

2．已知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状是_______________.　

　　　　　　　　　　

　正视图　　　　　　　　　　 侧视图　　　　　　　　　 俯视图

课后记：

课题：简单组合体的三视图

课　　 型：新授课

教学目标：

能利用正投影绘制简单组合体的三视图，并根据所给的三视图说出该几何体由哪些简单几何体构成。

教学重点：简单组合体三视图的画法。

教学难点：识别三视图所表示的空间几何体.

教学过程：

1．中心投影与平行投影的概念：

中心投影：光由一点向外散射形成的投影。

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影。

2．三视图的概念：

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；

侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；

俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图。

在三视图中要注意：

(1)要遵守“长对正”，“高平齐”，“宽相等”的规律；

(2)要注意三视图的主视图反映上下、左右关系，俯视图反映前后、左右关系，左视图反映前后、上下关系，方位不能错。

1．简单组合体的三视图：

例1：画出下列几何体的三视图。

分析：画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚。

例2：如图：设所给的方向为物体的正前方，试画出它的三视图(单位：cm)。

(与学生一起观察物体，给于必要的阐述)

现在，我们已经学会了画物体的三视图，反过来，由三视图，你能说出是什么物体吗？

例3：根据下列三视图，说出立体图形的形状。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：(1)圆台；(2)正四棱锥；(3)螺帽。

例4：下图是一个物体的三视图，试说出物体的形状。

　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 课本第15页练习　 第1-4题。

今天我们学习了三视图的画法以及由三视图说实物。重点要通过三视图识别所表示的几何体。

　 课本第20-21页　 习题1．2的第1、2题。

课后记：

课题：空间几何体的直观图

课　　 型：新授课

教学目标：

(1)掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图。

(2)采用对比的方法了解在平行投影下画空间图形与在中心投影下画空间图形两种方法的各自特点。

教学重点：用斜二测画法画空间几何体直观图。

教学难点：用斜二测画法画空间几何体直观图的画法原理。

教学过程：

1. 提问：何为三视图？(正视图：自前而后；侧视图：自左而右；俯视图：自上而下)

2. 讨论：如何在平面上画出空间图形？

3. 引入：定义直观图(表示空间图形的平面图).　 观察者站在某一点观察几何体，画出的图形.

　 把空间图形画在平面内，画得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形

1. 水平放置的平面图形的斜二测画法：

(1)讨论：水平放置的平面图形的直观感觉？以六边形为例讨论.

例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图。

(师生共练，注意取点、变与不变 → 小结：画法步骤)

画法：

① 如图1.2-10(1)，在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴相交于点O。在图1.2-10(2)中，画相应的x’轴与y’轴，两轴相交于点O’，使=45⁰。

② 在图1.2-10(2)中，以O’为中点，在x’轴上取A’D’=AD，在y’轴上取M’N’=MN。以点N’为中点，画B’C’平行于x’轴，并且等于BC；再以M’为中点，画E’F’平行于x’轴，并且等于EF。

③连接A’B’，C’D’,D’E’,F’A’,并檫去辅助线x’轴和y’轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A’B’C’D’E’F’(图1.2-10(3))。

(2)给出斜二测画法的基本步骤：

①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；

②画出斜坐标系，在画直观图的纸上(平面上)画出对应的O^’X^’,O^’Y^’,使=45⁰(或135⁰)，它们确定的平面表示水平平面；

③画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X^‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y^‘轴，且长度变为原来的一半；

④擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线(虚线)。

(3) 练习： 用斜二测画法画水平放置的正五边形.

(4) 讨论：水平放置的圆如何画？(正等测画法；椭圆模板)

2. 空间图形的斜二测画法：

(1) 讨论：如何用斜二测画法画空间图形？

例2 用斜二测画法画长4cm、宽3cm、高2cm的长方体ABCD-A’B’C’D’的直观图.

　 (师生共练，建系→取点→连线，注意变与不变；　 小结：画法步骤)

画法：

①　 画轴。如图1.2-12，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45⁰,∠xOz=90⁰.

②　　 画底面。以点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN=4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

③　　 画侧棱。过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别取2cm长的线段AA’,BB’,CC’,DD’.

④　　 成图。顺次连接A’,B’,C’,D’，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图。

(2)思考：如何根据三视图，用斜二测画法画它的直观图？

例3 如图1．2-13，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

分析：有几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单组合体。它的下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合。我们可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥。

画法：

①　　 画轴。如图1.2-14(1)，画x轴、z轴，使∠xOz=90⁰。

②　　 画圆柱的下底面。在x轴上取A,B两点，使AB的长度等于俯视图中圆的直径，且OA=OB。选择椭圆模板中适当的椭圆过A,B两点，使它为圆柱的下底面。

③　　 在Oz上截取点O’，使OO’等于正视图中OO’的长度，过点O’作平行于轴Ox的轴O’x’，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面。

④　　 画圆锥的顶点。在Oz上截取点P，使PO’等于正视图中相应的高度。

⑤　　 成图。连接PA’,PB’,AA’,BB’，整理得到三视图表示的几何体的直观图(图1.2-14(2))

　 强调：用斜二测画法画图，注意正确把握图形尺寸大小的关系。

(3)讨论：三视图与直观图有何联系与区别？

　 空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体，得到广泛应用(零件图纸、建筑图纸). 直观图是对空间几何体的整体刻画，根据直观图的结构想象实物的形象.

1．探究P19 奖杯的三视图到直观图.

2． 练习：P19　 1-5题

3. 画出一个正四棱台的直观图.尺寸：上、下底面边长2cm、4cm; 高3cm

让学生回顾斜二测画法的关键与步骤。

课本P21　　 第4、5题。

课后记：

课题： 柱体、锥体、台体的表面积与体积(一)

课　　 型：新授课

教学目标

1、知识与技能

(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

(2)能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

(1)让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。

(2)让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体面积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

教学要求：了解柱、锥、台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题.

教学重点：运用公式解决问题.

教学难点：理解计算公式的由来.

教学过程：

1. 讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→ 正方体、长方体的表面积计算公式？

2. 讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？ → 圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

1. 教学表面积计算公式的推导：

① 讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？(展开成平面图形，各面面积和)

② 练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P₂₄页例1)

2.一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积.

③ 讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？(图→侧→表)

圆柱：侧面展开图是矩形，长是圆柱底面圆周长，宽是圆柱的高(母线)， S=2，S=2，其中为圆柱底面半径，为母线长。

圆锥：侧面展开图为一个扇形，半径是圆锥的母线，弧长等于圆锥底面周长，侧面展开图扇形中心角为，S=， S=，其

中为圆锥底面半径，为母线长。

圆台：侧面展开图是扇环，内弧长等于圆台上底周长，外弧长等于圆台下底周长，侧面展开图扇环中心角为，S=，S=.

④ 练习：一个圆台，上、下底面半径分别为10、20，母线与底面的夹角为60°，求圆台的表面积.　

(变式：求切割之前的圆锥的表面积)

2. 教学表面积公式的实际应用：

① 例2P₂₅：一圆台形花盆，盘口直径20cm，盘底直径15cm，底部渗水圆孔直径1.5cm，盘壁长15cm.. 为美化外表而涂油漆，若每平方米用100毫升油漆，涂200个这样的花盘要多少油漆？

　 讨论：油漆位置？→ 如何求花盆外壁表面积？

　 列式 → 计算 → 变式训练：内外涂

② 练习：粉碎机的上料斗是正四棱台性，它的上、下底面边长分别为80mm、440mm，高是200mm, 计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

1. 已知底面为正方形，侧棱长均是边长为5的正三角形的四棱锥S-ABCD，求其表面积.

2. 圆台的上下两个底面半径为10、20, 平行于底面的截面把圆台侧面分成的两部分面积之比为1：1，求截面的半径. (变式：r、R；比为p:q)

3、已知圆锥的表面积为 a ㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为　　　　　 。　　　　　　　 ^(答案：)

4. 若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，求这个圆锥的表面积.

5. 圆锥的底面半径为2cm，高为4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值.

6. 面积为2的菱形，绕其一边旋转一周所得几何体的表面积是多少？

四 小结：表面积公式及推导；实际应用问题

课后记

课题：柱体、锥体、台体的表面积与体积(二)

课　　 型：新授课

教学目标

1、知识与技能

(1)通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

(2)能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

(3)培养学生空间想象能力和思维能力。

2、过程与方法

让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的体积的关系。

3、情感与价值

通过学习，使学生感受到几何体体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。

教学要求：了解柱、锥、台的体积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题.

教学重点：运用公式解决问题.

教学难点：理解计算公式之间的关系.

教学过程：

1. 提问：圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式？

2. 练习：正六棱锥的侧棱长为6, 底面边长为4, 求其表面积.

3. 提问：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

1. 教学柱锥台的体积计算公式：

① 讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？(祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30)

② 根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

　 →给出柱体体积计算公式：　(S为底面面积，h为柱体的高)→

③ 讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？ 等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④ 根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

　 →给出锥体的体积计算公式：　 S为底面面积，h为高)

⑤ 讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

　 → 如何计算台体的体积？

⑥ 给出台体的体积公式：　 (S，分别上、下底面积，h为高)

　 → 　(r、R分别为圆台上底、下底半径)

⑦ 比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

　

讨论：侧面积公式是否也正确？ 圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

公式记忆：

2. 教学体积公式计算的运用：

例1、一堆铁制六角螺帽，共重11.6kg, 底面六边形边长12mm，内空直径10mm，高10mm，估算这堆螺帽多少个？(铁的密度7.8g/cm³)

　 讨论：六角螺帽的几何结构特征？ → 如何求其体积？ → 利用哪些数量关系求个数？

　 → 列式计算　 → 小结：体积计算公式

② 练习：将若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形容器中，量得水面高度为6cm；若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形容器中，求水面的高度.

.

1. 把三棱锥的高分成三等分，过这些分点且平行于三棱锥底面的平面，把三棱锥分成三部分，求这三部分自上而下的体积之比。

2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80c㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积。　　　　 (答案：2325cm³)

3. 已知圆锥的侧面积是底面积的2倍，它的轴截面的面积为4，求圆锥的体积.

4. 高为12cm的圆台，它的中截面面积为225πcm²,体积为2800cm³，求它的侧面积。

5. 仓库一角有谷一堆，呈1/4圆锥形，量得底面弧长2.8m，母线长2.2m，这堆谷多重？720kg/m³

课后记

课题： 球的体积和表面积

课　　 型：新授课

1.知识与技能

⑴通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割--求和--化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识。

⑵能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题。

⑶培养学生的空间思维能力和空间想象能力。

2.过程与方法

通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式V＝πR³和面积公式S＝4πR²的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想。

3.情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心。

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法。

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成。

2．　　　　　　　　 教学用具：多媒体课件　

(一)　 创设情景

⑴教师提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。

(二)　 探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割--求和--化为准确和”的方法来进行。

步骤：

第一步：分割

　如图：把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底面是“小圆片”的底面。

如图：

得

第二步：求和

第三步：化为准确的和

　当n→∞时， →0　 (同学们讨论得出)

所以　

得到定理：半径是R的球的体积

练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径(钢的密度是7.9g/cm³)

2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”方法推导。

思考：推导过程是以什么量作为等量变换的？

　　　 半径为R的球的表面积为　　 S＝4πR²

　　 练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是　　　　　 。 (答案50元)

(三)体积公式的实际应用：

例①：一种空心钢球的质量是142g，外径是5.0cm，求它的内径. (钢密度7.9g/cm³)

　 讨论：如何求空心钢球的体积？

　 → 列式计算　 → 小结：体积应用问题.

② 有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放入一个半径为R的球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求此时容器中水的深度.

③ 探究阿基米德的科学发现：图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几何体称为圆柱容球。在圆柱容球中，球的体积是圆柱体积的　，球的表面积也是圆柱全面积的.

本节课主要学习了球的体积和球的表面积公式的推导，以及利用公式解决相关的球的问题，了解了推导中的“分割、求近似和，再由近似和转化为准确和”的解题方法。

2、⑴正方形的内切球和外接球的体积的比为　　　　　 ，表面积比为　　　　　 。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (答案：　 ；　3 ：1)

⑵在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm²和400πcm²，求球的表面积。　 (答案：2500πcm²)

课题：平面

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)利用生活中的实物对平面进行描述；

(2)掌握平面的表示法及水平放置的直观图；

(3)掌握平面的基本性质及作用；

(4)培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

(1)通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；

(2)让学生归纳整理本节所学知识。

3、情感与价值

使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。

重点：1、平面的概念及表示；

2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。

难点：平面基本性质的掌握与运用。

2、教学用具：投影仪、投影片、正(长)方形模型、三角板

(一)实物引入、揭示课题

师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。与此同时，教师对学生的活动给予评价。

师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。

(1)本节课我们学习了哪些知识内容？(2)三个公理的内容及作用是什么？

1、知识与技能

(1)了解空间中两条直线的位置关系；

(2)理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；

(3)理解并掌握公理4；

(4)理解并掌握等角定理；

(5)异面直线所成角的定义、范围及应用。

2、过程与方法

(1)师生的共同讨论与讲授法相结合；

(2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

3、情感与价值

让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。

重点：1、异面直线的概念；

2、公理4及等角定理。

难点：异面直线所成角的计算。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板

(一)创设情景、导入课题

1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？(板书课题)

(二)讲授新课

1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：

共面直线

　　　　　　 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：　 不同在任何一个平面内，没有公共点。

教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：

2、(1)师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？

组织学生思考：

长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？

生：平行

再联系其他相应实例归纳出公理4

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

例1、　 空间四边形ABCD，E 、F、H、G分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形

3 让学生观察、思考右图：

∠ADC与A'D'C'、∠ADC与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？

生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 180⁰

教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理

等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

教师强调：并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来。

4、以教师讲授为主，师生共同交流，导出异面直线所成的角的概念。

(1)师：如图，已知异面直线a、b，经过空间中任一点O作直线a'∥a、b'∥b，我们把a'与b'所成的锐角(或直角)叫异面直线a与b所成的角(夹角)。

(2)强调：

① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈(0，　 )；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

(3)例2(教材P47页例3)

(三)课堂练习

练习1、2

(四)课堂小结在师生互动中让学生了解：

(1)本节课学习了哪些知识内容？

(2)计算异面直线所成的角应注意什么？

(五)课后作业

1、判断题：

(1)a∥b　 c⊥a => c⊥b　 (　　 )

(2)a⊥c　 b⊥c => a⊥b　 (　　 )

2、填空题：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，与BD'成异面直线的有 ________ 条。

课后记：

课题：空间直线与平面、平面与平面之间的

位置关系

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)了解空间中直线与平面的位置关系；

(2)培养学生的空间想象能力。

2、过程与方法

(1)学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；

(2)让学生利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识。

重点：空间直线与平面

难点：用图形表达直线与平面

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考等，较好地完成本节课的教学目标。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

(一)复习引入：

1 空间两直线的位置关系

(1)相交；(2)平行；(3)异面

2.公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行

推理模式：．

3.等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等

4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.

5.空间两条异面直线的画法

6．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线

推理模式：与是异面直线

7．异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角)．为了简便，点通常取在异面直线的一条上

　8．异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线　垂直，记作．

1．选择题

　(1)以下命题(其中a，b表示直线，a表示平面)

①若a∥b，bÌa，则a∥a　 ②若a∥a，b∥a，则a∥b

③若a∥b，b∥a，则a∥a　 ④若a∥a，bÌa，则a∥b

　 其中正确命题的个数是　　 (　 )

　　　　 (A)0个　　　　　　 (B)1个　　　　　　　 (C)2个　　　　　　　　　 (D)3个

(2)已知a∥a，b∥a，则直线a，b的位置关系

①平行；②垂直不相交；③垂直相交；④相交；⑤不垂直且不相交.　

其中可能成立的有　　 (　 )

　　　　 (A)2个　　　　　　　 (B)3个　　　　　　　　 (C)4个　　　　　　　 (D)5个

(3)如果平面a外有两点A、B，它们到平面a的距离都是a，则直线AB和平面a的位置关系一定是(　 )

　　　　 (A)平行　　　　 (B)相交　 (C)平行或相交　 (D)ABÌa

(4)已知m，n为异面直线，m∥平面a，n∥平面b，a∩b=l，则l　　 (　 )

　　　　 (A)与m，n都相交　　　 (B)与m，n中至少一条相交

　　　　 (C)与m，n都不相交　 (D)与m，n中一条相交

教材P51 练习　　 学生独立完成后教师检查、指导

(四)归纳整理、整体认识

教师引导学生归纳，整理本节课的知识脉络，提升他们掌握知识的层次。

(五)作业

1、让学生回去整理这三节课的内容，理清脉络。

2、教材P51 习题2.1 A组第5题

课后记

课题：直线与平面平行的判定

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)理解并掌握直线与平面平行的判定定理；

(2)进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；

2、过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

3、情感、态度与价值观

(1)让学生在发现中学习，增强学习的积极性；

(2)让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

重点、难点：直线与平面平行的判定定理及应用。

1、学法：学生借助实例，通过观察、思考、交流、讨论等，理解判定定理。

2、教学用具：投影仪(片)

(一)创设情景、揭示课题

引导学生观察身边的实物，如教材第55页观察题：封面所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？如何去确定这种关系呢？这就是我们本节课所要学习的内容。

(二)研探新知

1. 教学线面平行的判定定理：

① 探究:有平面和平面外一条直线a,什么条件可以得到a//？

分析:要满足平面内有一条直线和平面外的直线平行。

判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.

　　 符号语言:　

例1求证：:空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面.

→改写：已知：空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD.

→ 分析思路　 → 学生试板演

例2在正方体ABCD- A’B’C’D’中，E为DD’中点，试判断BD’与面AEC的位置关系，并说明理由.

　 → 分析思路　 →师生共同完成 → 小结方法

→ 变式训练：还可证哪些线面平行

练习：

Ⅰ、判断对错

直线a与平面α不平行，即a与平面α相交．　　　 (　　 )

直线a∥b，直线b平面α，则直线a∥平面α．　　 (　　 )

直线a∥平面α，直线b平面α，则直线a∥b．　 　(　　 )

Ⅱ 在长方体ABCD- A’B’C’D’中，判断直线与平面的位置关系(解略)

(三)自主学习、发展思维

练习：教材第56页 1、2题

让学生独立完成，教师检查、指导、讲评。

(四)归纳小结整理

1、同学们在运用该判定定理时应注意什么？

2、在解决空间几何问题时，常将之转换为平面几何问题。

(五)作业

1、教材第64页 习题2.2 A组第3题；

2、预习：如何判定两个平面平行？

课后记

课题：平面与平面平行的判定

课　　 型：新授课

1、知识与技能

理解并掌握两平面平行的判定定理。

2、过程与方法

让学生通过观察实物及模型，得出两平面平行的判定。

3、情感、态度与价值观

进一步培养学生空间问题平面化的思想。

重点：两个平面平行的判定。

难点：判定定理、例题的证明。

1、学法：学生借助实物，通过观察、类比、思考、探讨，教师予以启发，得出两平面平行的判定。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

(一)创设情景、引入课题

引导学生观察、思考教材第57页的观察题，导入本节课所学主题。

(二)研探新知

① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线和另一个平面有什么位置关系？一个平面内有两条直线平行于一个平面，这两个平面有什么位置关系？

② 将讨论的结论用符号语言表示：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α，则β∥α。

③ 以长方体模型为例，探究面面平行的情况.

④ 提出判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

☆图形语言、文字语言、符号语言；

☆思想：线面平行→面面平行.

　

⑤ 讨论：水准器判断水平平面的方法及其原理。

⑥ 出示例：平行于同一个平面的两个平面互相平行。

　 分析结果→以后待证→结论好处　 → 变问：垂直于同一条直线的两个平面呢？

⑦ 讨论：A. 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面是否平行？

B. 平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是怎样的？试证明你的结论。

2. 教学例题：

① 例1：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ , 求证：平面AB₁D₁∥平面C₁BD.

　 分析：如何找线线平行→线面平行→面面平行？

　 师生共练，强调证明格式

变式：还可找出一些什么面面平行的例子？并说证明思路.

小结：证明思想.

两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

教师指出：判断两平面平行的方法有三种：

(1)用定义；

(2)判定定理；

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。

(三)自主学习、加深认识

练习：教材第59页1、2、3题。

学生先独立完成后，教师指导讲评。

(四)归纳整理、整体认识

1、判定定理中的线与线、线与面应具备什么条件？

2、在本节课的学习过程中，还有哪些不明白的地方，请向老师提出。

(五)作业布置

第62页习题2.2 A组第7题。

课题：直线与平面、平面与平面平行的性质

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；

(2)掌握两个平面平行的性质定理及其应用。

2、过程与方法

学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、情感、态度与价值观

(1)进一步提高学生空间想象能力、思维能力；

(2)进一步体会类比的作用；

(3)进一步渗透等价转化的思想。

重点：两个性质定理 。

难点：(1)性质定理的证明；

(2)性质定理的正确运用。

1、学法：学生借助实物，通过类比、交流等，得出性质及基本应用。

2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型

1. 教学线面平行的性质定理：

① 讨论：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线的位置关系如何？

② 给出线面性质定理及符号语言：．

③ 讨论性质定理的证明：

∵ ，∴和没有公共点，

又∵，∴和没有公共点；

即和都在内，且没有公共点，∴．

④ 讨论：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线是否在此平面内？ 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条与平面有何位置关系？

教学例题：

例1：已知直线a∥直线b，直线a∥平面α,bα，

求证：b∥平面α

　 分析：如何作辅助平面？ → 怎样进行平行的转化？

　 → 师生共练 → 小结：作辅助平面；

转化思想“线面平行→线线平行→线线平行→线面平行”

② 练习：一条直线和两个相交平面平行，求证：它和这两个平面的交线平行。(改写成数学符号语言→试证)

已知直线∥平面，直线∥平面，平面平面=，求证.

例2：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′．要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？所画的线和面AC有什么关系？

例3：已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面。

讨论：存在怎样的线线平行或线面平行？ 怎样画线？

如何证明所画就是所求？

　 变式：如果AD∥BC，BC∥面A′C′，那么，AD和面BC′、面BF、面A′C′都有怎样的位置关系．为什么？

教学面面平行性质定理：

① 讨论：两个平面平行，其中一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？两个平面内的直线有什么位置关系？当第三个平面和两个平行平面都相交，两条交线有什么关系？为什么？

② 提出性质定理：两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③ 用符号语言表示性质定理：　　　

④ 讨论性质定理的证明思路.

教学例题：

例4已知平面

例5：如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个平面也相交.

　 讨论：如何将文字语言转化为图形语言和符号语言？

　 → 如何作辅助平面？　 → 师生共同完成

例6：求证夹在两个平行平面间的两条平行线的长相等.

　→首先要将文字语言转化为符号语言和图形语言：

已知：，是夹在两个平行平面间的平行线段，求证：.

　 → 分析：利用什么定理？(面面平行性质定理) 关键是如何得到第三个相交平面

② 练习：若，，求证：．

　 (试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演)

在平面内取两条相交直线，

分别过作平面，使它们分别与平面交于两相交直线，

∵，∴，

又∵，同理在平面内存在两相交直线，使得，

∴，　 ∴.

1. 两条直线被三个平行平面所截，得到四条线段. 求证：这四条线段对应成比例.

2. 已知是两条异面直线，平面，平面，面，平面，求证：．

*3. 设是单位正方体的面、面的中心，

如图：(1)证明：平面； (2)求线段的长。

4. 课堂作业：书P69　 B组2、3题。

5. 如图，b∥c，求证：a∥b∥c

　 (试用文字语言表示 → 分析思路 → 学生板演)

6. 设平面α、β、γ，α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a//b. 求证：a∥b∥c.

课后记：

课题：直线与平面垂直的判定

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

(2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

(3)培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、过程与方法

(1)通过教学活动，使学生了解，感受直线和平面垂直的定义的形成过程；

(2)探究判定直线与平面垂直的方法。

3、情态与价值

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

(一)创设情景，揭示课题

1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

(四)归纳小结，课后思考

小结：采用师生对话形式，完成下列问题：

①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定定理，体现的教学思想方法是什么？

课后作业:

①课本P69练习

②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。

思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？

课后记：

课题：直线和平面垂直(2)

2．熟练应用定理解决有关问题．

(二)新课讲解：

例1．过一点和已知平面垂直的直线只有一条．

已知：平面和一点

求证：过点与垂直的直线只有一条．

　

证明：不论在平面内或外，设直线，垂足为(或)若另一直线，设确定的平面为，且

∴

又∵在平面内，与平面几何中的定理矛盾

所以过点与垂直的直线只有一条。

例2．定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(线面垂直的性质定理)

已知：如图，　　　　 求证：

证明：(反证法)假定不平行于，则与相交或异面；

(1)若与相交，设，

∵　　

∴过点有两条直线与平面垂直，

此与“过一点有且只有一条直线垂直于已知平面”矛盾，

∴与不相交；

(2)若与异面，设，过作，

∵　 ∴　 又∵且，

∴过点有直线和垂直于与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，

∴与不异面，综上假设不成立，　　

∴．

说明：例1和例2结论可直接应用于其他的解题过程中．

例3．已知直线平面，垂足为，直线，求证：在平面内．

证明：设与确定的平面为，

如果不在内，则可设，

∵，∴，又∵，

于是在平面内过点有两条直线垂直于，

这与过一点有且只有一条直线一已知平面垂直矛盾，

所以一定在平面内．

点到平面的距离：从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足间线段的长，叫做点到平面的距离。

P73　5、6

课后记

课题：平面与平面垂直的判定

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

(2)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

(3)使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法

(1)通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

(2)类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。

3、情态与价值

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型(两块硬纸板)

(一)创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

(二)研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示)

	角	二面角
图形	A 　　　　 边　 　顶点　 O　　 边　　 B	A　　　　　 　　 梭 l　　　　 β B 　α
定义	从平面内一点出发的两条射线(半直线)所组成的图形	从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
构成	射线 - 点(顶点)一 射线	半平面 一 线(棱)一 半平面
表示	∠AOB	二面角α-l-β或α-AB-β

2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验(预先准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线(如图2.3-3)，通过实验操作，研探二面角大小的度量方法--二面角的平面角。

教师特别指出：

(1)在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L；

(2)∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

(3)当二面角的平面角是直角时，这两个平面的位置关系怎样？

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究，　　　　　　　

获得两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。　　　　

(三)应用举例，强化所学　　

例1：如图，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，求证：平面.

(讨论师生共析学生试写证明步骤归纳：线线垂直线面垂直面面垂直)

练习：教材P69页探究题

例2：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所在二面角的大小. (分析学生自练)

练习：如图，已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且，求以为棱，以面与面为面的二面角的大小？

(四)小结归纳，整体认识

(1)二面角以及平面角的有关概念；

(2)两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

(五)课后巩固，拓展思维

1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么

∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

课后记：

课题：直线与平面垂直、平面与平面

垂直的性质

课　　 型：新授课

1、知识与技能

(1)使学生掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；

(2)能运用性质定理解决一些简单问题；

(3)了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。

2、过程与方法

(1)让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识；

(2)性质定理的推理论证。

3、情态与价值

通过“直观感知、操作确认，推理证明”，培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力。

两个性质定理的证明。

(1)学法：直观感知、操作确认，猜想与证明。

(2)用具：长方体模型。

(一)、复习准备：

1.直线、平面垂直的判定，二面角的定义、大小及求法.

2.练习：对于直线和平面，能得出的一个条件是(　)①②③④.

3.引入：星级酒店门口立着三根旗杆，这三根旗杆均与地面垂直，这三根旗杆所在的直线之间具有什么位置关系？

(三)、巩固练习：

1、下列命题中，正确的是(　)

A、过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B、过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C、若异面，过一定可作一个平面与垂直D、异面，过不在上的点，一定可以作一个平面和都垂直.

2、如图，是所在平面外一点，的中点，上的点，求证：

3、教材P71、72页

(四)巩固深化、发展思维

　 思考1、设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，直线a与平面α具有什么位置关系？

(答：直线a必在平面α内)

思考2、已知平面α、β和直线a，若α⊥β，a⊥β，a　 α，则直线a与平面α具有什么位置关系？

小结：(1)请归纳一下本节学习了什么性质定理，其内容各是什么？

　　　　 (2)类比两个性质定理，你发现它们之间有何联系？

　　　　 (2)求证：三个两两垂直的平面的交线两两垂直。

课后记：

课题：三垂线定理(1)

课　　 型：新授课

2．掌握三垂线定理及其逆定理，利用三垂线定理及其逆定理解决有关线线垂直问题。

(二)新课讲解：

1．射影的有关概念：

　 (1)点的射影：自一点向平面引垂线，垂足叫做在平面内的正射影(简称射影)。

　 (2)图形的射影：如果图形上所有点在一个平面内的射影构成图形，则叫做在

　　　 这个平面内的射影．

2．斜线的有关概念：

(1)斜线：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，那么这条直线叫做平面的斜线；

(2)斜足：斜线和平面的交点；

(3)斜线段：斜线上一点和斜足间的线段叫做斜线段．

由此，斜线段在平面内的射影仍为线段，

即为线段．

3．三垂线定理：

　 定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，

那么它也和这条斜线垂直。

　 已知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面内的射影，，且

　 求证：；

　 证明：∵∴，又∵

　　　　 ∴平面， ∴．

说明：(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；

(2)推理模式：．

4．三垂线定理的逆定理：

　 在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。(证明

　 略)

　 推理模式： ．

　 练习：在平面内，于点，请指出图形中的直角三角形。

例1．已知：点是的垂心，，垂足为，

求证：．

证明：∵点是的垂心，

∴

又∵，垂足为，

所以，由三垂线定理知，．

例2． 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的角平分线上．

已知：在平面内，点，垂足分别为，

求证：．

证明：∵，

∴(三垂线定理逆定理)

∵，∴，

∴，又∵，　 ∴

∴．

例3．如图，道路两旁有一条河，河对岸有电塔，高，只有量角器和

尺作测量工具，能否测出电塔顶与道路的距离？

解：在道路边取点，使与道路边所成的水平角等于，

再在道路边取一点，使水平角，

测得的距离等于，

∵是在平面上的射影，且　∴(三垂线定理)

因此斜线段的长度就是塔顶与道路的距离，

∵，∴，

在中得，

答：电塔顶与道路距离是．

1．射影和斜线的有关概念；

2．三垂线定理及其逆定理．

1．在正方体中，求证：正方体的对角线垂直于平面．

2．如图，是矩形，平面，点

分别是的中点，

求证：．

3．已知：如图若直角的一边平面，另一边和平面斜交于点，求证：在平面上的射影仍为直角。

课后记：

课题：三垂线定理(2)

课　　 型：新授课

2．能在新的情景中正确识别定理中的“三垂线”，并能正确应用．

(一)复习：

1．三垂线定理及其逆定理的内容；

2．练习：

已知：在正方体中，求证：(1)；(2)．

(二)新课讲解：

例1．点为所在平面外的一点，点为点在平面内的射影，若，求证：．

证明：连结，

∵，且

∴(三垂线定理逆定理)

同理，∴为的垂心，

∴，　 又∵，

∴(三垂线定理)

[练习]：所在平面外的一点在平面内的射影为的垂心，

求证：点在内的射影是的垂心．

例2．已知：四面体中，是锐角三角形，是点在面　上的射影，求证：不可能是的垂心．

证明：假设是的垂心，连结，则，

∵

∴是在平面内的射影，

∴(三垂线定理)

又∵，是在平面内的射影

∴ (三垂线定理的逆定理)

∴是直角三角形，此与“是锐角三角形”矛盾

∴假设不成立，所以，不可能是的垂心．

例3．已知：如图，在正方体中，是的中点，

是的交点，求证：．

证明：，是在面上的射影

又∵，∴

取中点，连结，

∵，

∴为在面上的射影，

又∵正方形中，分别为的中点，∴，

∴(三垂线定理)又∵，∴．

1．已知是所在平面外一点，两两垂直，是的垂心，

求证：平面．

2．已知是所在平面外一点，两两垂直，

求证：在平面内的射影是的垂心．

3．如图，是正三角形，是的中点，

平面，四边形是菱形，

求证：．

4．如图，过直角三角形的直角顶点作线段平面，

求证：在平面内的射影是的垂心．

课后记：

本章复习(一)

课　　 型：复习课

1、知识与技能

(1)使学生掌握知识结构与联系，进一步巩固、深化所学知识；

(2)通过对知识的梳理，提高学生的归纳知识和综合运用知识的能力。

2、过程与方法

利用框图对本章知识进行系统的小结，直观、简明再现所学知识，化抽象学习为直观学习，易于识记；同时凸现数学知识的发展和联系。

3情态与价值

学生通过知识的整合、梳理，理会空间点、线面间的位置关系及其互相联系，进一步培养学生的空间想象能力和解决问题能力。

重点：各知识点间的网络关系；

难点：在空间如何实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。

(一)知识回顾，整体认识

1、本章知识回顾

(1)空间点、线、面间的位置关系；

(2)直线、平面平行的判定及性质；

(3)直线、平面垂直的判定及性质。

2、本章知识结构框图

　

(二)整合知识，发展思维

1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。

公理1--判定直线是否在平面内的依据；

公理2--提供确定平面最基本的依据；

公理3--判定两个平面交线位置的依据；

公理4--判定空间直线之间平行的依据。

2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题；

3、空间平行、垂直之间的转化与联系：

　

4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。

(三)应用举例，深化巩固

1、P.73 A组第1题

2、P.74 A组第6、8题

1．了解直线和平面的位置关系；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理．

2．了解平面和平面的位置关系；掌握平面和平面平行的判定定理和性质定理．

3．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题；

4．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。

　　　 例1．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．

　　　 (1)求证：平面A₁BD∥平面B₁D₁C；

　　　 (2)若E、F分别是AA₁，CC₁的中点，求证：平面EB₁D₁∥平面FBD．

证明：(1)由B₁B∥DD₁，得四边形BB₁D₁D是平行四边形，

　　　 ∴B₁D₁∥BD，

　　　 又BD Ë平面B₁D₁C，B₁D₁平面B₁D₁C，

　　　 ∴BD∥平面B₁D₁C．

　　　 同理A₁D∥平面B₁D₁C．

　　　 而A₁D∩BD＝D，

　　　 ∴平面A₁BD∥平面B₁CD．

　　　 (2)由BD∥B₁D₁，得BD∥平面EB₁D₁．取BB₁中点G，∴AE∥B₁G．

　　　 从而得B₁E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．

　　　 ∴B₁E∥DF．∴DF∥平面EB₁D₁．

　　　 ∴平面EB₁D₁∥平面FBD．

　　　 说明　 要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证线与线的平行．

小结：

例2．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．

证明：(1) ∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．

∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．

∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．

∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．

(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACËα．

　　　 否则，若ACÌα，

　　　 由A∈α，M∈α，得B∈α；

　　　 由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，

　　　 与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．

　　　 又∵MNÌα，∴AC∥α，

　　　 又AC Ëα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．

　　　 同理可证BD∥平面MNP．

例3．四面体中，分别为的中点，且，

　　　 ，求证：平面　

　　　 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴

　　　 ，又∴，∴在中，

　　　

　　　 ∴，∴，又，即，

　　　 ∴平面　

例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点，

(1)求证：；(2)当，时，求的长。

(1)证明：取的中点，连结，∵是的中点，

∴，∵ 平面　，∴　 平面　　　　　　　　　　　　　

∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结 ，∵∴，又，∴

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴，∴，由三垂线定理得

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (2)∵，∴，∴，∵平面.∴，且，∴

课后作业：

1．在长方体中，经过其对角线的平面分别与棱、相交于两点，则四边形的形状为　　　　　　　 ．(平行四边形)

2．如图，A，B，C，D四点都在平面a，b外，它们在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形．

　　　 证明：∵ A，B，C，D四点在b内的射影A₂，B₂，C₂，D₂

　　　 在一条直线上，

　　　 ∴A，B，C，D四点共面．

　　　 又A，B，C，D四点在a内的射影A₁，B₁，C₁，D₁是平行四边形的四个顶点，

　　　 ∴平面ABB₁A₁∥平面CDD₁C₁．

　　　 ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB₁A₁，平面CDD₁C₁的交线．

　　　 ∴AB∥CD，同理AD∥BC．∴四边形ABCD是平行四边形．

3．已知直线a、b和平面M、N，且，那么(　　 )

　　　 (A)∥Mb⊥a　　　　　　　　　　　　　　 (B)b⊥ab∥M

　　　 (C)N⊥Ma∥N (D)　

4．如图，矩形所在的平面，分别是的中点，

(1)求证：平面；　　　

(2)求证：

(3)若，求证：平面

5．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，，求证：

课后记：

课题：直线的倾斜角和斜率(1)

课　　 型：新授课

教学目标:

知识与技能

1.正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．

2.理解直线的倾斜角的唯一性.

3.理解直线的斜率的存在性.

4.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

情感态度与价值观

1.通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

2.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式.

教学方法：启发、引导、讨论.

教学过程：

1.直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?

　　　　　　　　　　　　　　　

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?

引入直线的倾斜角的概念:

当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.

问: 倾斜角α的取值范围是什么?　　 0°≤α＜180°.

当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.

直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点P和一个倾斜角α.

2.直线的斜率:

一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

　　　　　 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;

⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

例如, α=45°时, k = tan45°= 1;

　　　 α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.

学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.

3.直线的斜率公式:

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?

可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：

　　　　　　　　 　　　　

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;

(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

4．例题:

例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.

略解: 直线AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角;

　　　 直线BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角;

　　　 直线CA的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.

例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l.

分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a上的另外一点M. 而M的坐标可以根据直线a的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作

45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可.

略解: 设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有

　 1=(y－0)／(x－0)，所以　 x = y

可令x = 1, 则y = 1, 于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)

5．练习: P86　 1.　 2.　 3.　 4.

课堂小结:

(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式.

课后作业: P89　 习题3.1　 1. 2. 3.4

课后记:

课题：直线的倾斜角和斜率(2)

课　　 型：习题课

教学目标：

1.进一步加深理解直线的倾斜角和斜率的定义

2.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率

3.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角

4.培养学生分析探究和解决问题的能力.

教学重点：直线的倾斜角和斜率的应用

教学难点：斜率概念理解与斜率公式的灵活运用

教学过程

1．复习：1)说出倾斜角和斜率的概念，它们都反映了直线的什么牲特征？

2) 斜率的计算公式是什么？

2.巩固练习：

1)已知直线的倾斜角，口答直线的斜率：

(1) ＝0°；(2)＝60°；(3) ＝90°；(4)150°

2).直线经过原点和点(－1,－1),则它的倾斜角是 　　　　　

3).过点P(－2,m)和Q(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　 )

A.1　　　　 B.4　　　　 C.1或3　　　　　　 D.1或4

4).已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是　　　　　　 .

5).已知M(a,b)、N(a,c)(b≠c),则直线MN的倾斜角是　　　　　　　 .

6).已知O(0，0)、P(a,b)(a≠0)，直线OP的斜率是　　　　　　　　 .

7).已知，当时，直线的斜率　=　　　　 ；当且时，直线的斜率为　　　　

3．例题分析：

例1.若三点，，共线，求的值

解：

说明：本题旨在让学生了解斜率也可研究直线的位置关系，为下节课的学习打基础

例2．如果直线经过A(－1,2m)、B(2，)二点，求直线的斜率K的取值范围。

例3．若直线的斜率为函数

例4.已知两点A(－3,4)、B(3，2)，过点P(2，－1)的直线与线段AB有公共点.求直线的斜率k的取值范围.( k≤－1或k≥3)

4．提高练习

1.若直线过(－2,3)和(6，－5)两点，则直线的斜率为　　　　 ,倾斜角为　　　

2.已知直线l₁的倾斜角为₁，则l₁关于x轴对称的直线l₂的倾斜角₂为_{________}.

3已知两点A(x,－2),B(3,0),并且直线AB的斜率为，则x=　

4斜率为2的直线经过(3，5)、(a,7)、(－1,b)三点，则a、b的值是(　　 )

A.a=4,b=0　　 B.a=－4,b=－3　　　 C.a=4,b=－3　　 D.a=－4,b=3

5已知两点M(2，－3)、N(－3，－2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线的斜率k的取值范围是(　　 )

A.k≥或k≤－4　 B.－4≤k≤　 C. ≤k≤4　 D.－≤k≤4

归纳小结：解题时，要重视数学思想方法的应用.

作业布置：完成全优设置相关练习.

课后记:

课题：两条直线的平行与垂直

课　　 型：新授课

教学目标：理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

教学重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．

教学难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．

注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．

教学过程：

(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直

上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．

讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．

1.下列四命题中的真命题是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.经过定点的直线都可以写成；

B.经过任意两个不同的点的直线都可以用

表示；

C.不经过原点的直线都可以用表示；

D.经过定点的直线都可以用表示；

2．若直线(2t–3)x+y+6=0不经过第二象限，则t的取值范围是

(A)(, +∞)　 (B)(–∞, )　 (C)[, +∞]　 (D)(–∞, )

3．过点M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是　　　　　　 .

4．若2x₁+3y₁=4, 2x₂+3y₂=4，则过不重合两点A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)的直线的方程是

　 (A)2x+3y=4　 (B)2x–3y=4　 (C)3x+2y=4　 (D)不能确定

例1．已知在第一象限的ΔABC中，A(1，1)、B(5，1)，求：(1)AB边的方程；(2)AC和BC所在的直线方程.

例2．求过点P(-5,-4)且分别满足下列条件的直线方程：

(1)与两坐标轴围成的三角形面积为5；

(2)与x轴y轴分别交于A、B两点，且|AP|:|BP|=3:5.

例3．(第100页第6题)一根弹簧，挂4N的物体时，长为20cm.在弹性限度内，所挂物体的重量每增加1N，弹簧就伸长1.5cm,试写出弹簧的长度L与所挂物体重量G之间关系的方程.

1．一条直线l被两条直线4x+y+6=0和3x–5y–6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线l的方程为

　 (A)6x+y=0　 (B)6x–y=0　 (C)x+6y=0　 (D)x–6y=0

2．设A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0)，直线x=m将△ABC面积两等分，则m的值是

　 (A)+1　 (B)–1　 (C)2　 (D)

3．若A、B是x轴上两点，点P的横坐标是2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x–y–1=0，则直线PB的方程是

(A)2x–y–1=0　 (B)x+y–3=0　 (C)2x+y–7=0　 (D)2x–y–4=0

4．直线l过原点，且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形有两个顶点的坐标是A(2, 3), C(–4,–1)，则直线l的方程是　　　　　　　　　　　　 .

5．过点P(–2, 2)，且在第二象限与两坐标轴围成的三角形的面积最小时的直线的方程是　　　　　　　　　　　　 .

6．在直线3x–y+1=0上有一点A，它到点B(1,–1)和点C(2, 0)等距离，则A点坐标为　　　　　　　　 .

归纳小结：直线方程的各种形式要根据条件灵活选用；分析问题要突出数学思想方法的运用。

作业布置：习题3.2第100页7、8、9题，课外完成B组题

课后记:

课题：两直线的交点坐标

课　　 型：新授课

教学目标：

知识与技能：1.直线和直线的交点 2．二元一次方程组的解

过程和方法：

1.学习两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法.

2．掌握数形结合的学习法。　　　　　　

3．组成学习小组，分别对直线和直线的位置进行判断，归纳过定点的直线系方程。

情态和价值：

1.通过两直线交点和二元一次方程组的联系，从而认识事物之间的内

的联系。

2.能够用辩证的观点看问题。

教学重点：判断两直线是否相交，求交点坐标

教学难点：两直线相交与二元一次方程的关系

教学过程：

用大屏幕打出直角坐标系中两直线，移动直线，让学生观察这两直线的位置关系。

课堂设问一：由直线方程的概念，我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系，那么如果两直线相交于一点，这一点与这两条直线的方程有何关系？

1．分析任务，分组讨论，判断两直线的位置关系

已知两直线 L1：A1x+B1y +C1=0,L2：　 A2x+B2y+C2=0

如何判断这两条直线的关系？

教师引导学生先从点与直线的位置关系入手，看表一，并填空。

几何元素及关系	代数表示
点A	A(a，b)
直线L	L：Ax+By+C=0
点A在直线上
直线L1与 L2的交点A

课堂设问二：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？

学生进行分组讨论，教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组有何关系？

1．若二元一次方程组有唯一解，L 1与L2 相交。

2．若二元一次方程组无解，则L 1与 L2平行。

3．若二元一次方程组有无数解，则L 1 与L2重合。

课后探究：两直线是否相交与其方程组成的方程组的系数有何关系？

例题讲解：

例1：求下列两直线交点坐标

L1 ：3x+4y-2=0

L1：2x+y +2=0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

解：解方程组　 　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 得 x=-2，y=2

所以L1与L2的交点坐标为M(-2，2)。

教师可以让学生自己动手解方程组，看解题是否规范，条理是否清楚，表达是否简洁，然后才进行讲解。

同类练习：书本104页第1，2题。

例2 ：判断下列各对直线的位置关系。如果相交，求出交点坐标。

(1)L1：x-y=0，L2：3x+3y-10=0

(2)L1：3x-y=0，L2：6x-2y=0

(3)L1：3x+4y-5=0，L2：6x+8y-10=0

　这道题可以作为练习以巩固判断两直线位置关系。

课堂设问：当变化时，方程 3x+4y-2+(2x+y+2)=0表示何图形，图形有何特点？求出图形的交点坐标。

(1)运用信息技术，当　取不同值时，通过各种图形，经过观察，让学生从直观上得出结论，同时发现这些直线的共同特点是经过同一点。

(2)找出或猜想这个点的坐标，代入方程，得出结论。

(3)结论：方程表示经过这两条直线L1 与L2的交点的直线的集合。

例3.已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在第一象限及轴上.

分析：先通过联立方程组将交点坐标解出，再判断交点横纵坐标的范围.

解：解方程组若＞0，则＞1.当＞1时，－＜0，此时交点在第二象限内.

又因为为任意实数时，都有1＞0，故≠0

因为≠1(否则两直线平行，无交点) ，所以，交点不可能在轴上，得交点(－)

例4．(1)求经过直线y=2x+3和3x-y+2=0的交点，且垂直于第一条直线的直线的方程.

(2) 设正数a, b满足2ab=a+b，直线总过一定点，求定点的坐标。

课堂练习：

(1)已知三点A(2, –3), B(4, 3), C(5, )在同一直线上，则m的值为　　

(2)不论m为何实数，直线(m－1)x－y+2m+1＝0 恒过定点　　　　

　 (A)(1, －)　 　(B)(－2, 0) 　　(C)(2, 3)　 (D)(－2, 3)

(3)直线方程为(3m+2)x+y+8=0, 若直线不过第二象限，则m的取值范围是

　 　　　　　

(4)光线从M(-2，3)射到x轴上的一点P(1，0)后被x轴反射，求反射光线所在的直线方程。

(5)求满足下列条件的直线方程：经过两直线2x-3y+10=0与3x+4y-2=0的交点，且和直线3x-2y+4=0垂直

归纳小结：直线与直线的位置关系，求两直线的交点坐标，能将几何问题转化为代数问题来解决，并能进行应用。

作业布置：109页2、3、4、5题

课后记:

课题:两点间距离

课　　 型：新授课

教学目标：知识与技能：掌握直角坐标系两点间距离，会用坐标法证明简单的几何问题。

过程和方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。

情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题

教学重点：两点间距离公式的推导

教学难点：应用两点间距离公式证明几何问题。

教学过程：

课堂设问一：回忆数轴上两点间的距离公式，同学们能否用以前所学的知识来解决以下问题

平面直角坐标系中两点间距离公式：。

分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为

直线相交于点Q。

在直角中，，为了计算其长度，过点向x轴作垂线，垂足为 　过点 向y轴作垂线，垂足为　 ，于是有

所以，=。

由此得到两点间的距离公式

在教学过程中，可以提出问题让学生自己思考，教师提示，根据勾股定理，不难得到。

例1．以知点A(-1，2)，B(2，　)，在x轴上求一点，使 ,并求　 的值。

解：设所求点P(x，0)，于是有

由 得

解得 x=1。

所以，所求点P(1，0)且　 　　通过例题，使学生对两点间距离公式理解。应用。

设问：本题能否有其它解法

同步练习：书本106页第1，2 题

例2 .证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

分析：首先要建立直角坐标系，用坐标表示有关量，然后用代数进行运算，最后把代数运算“翻译”成几何关系。

这一道题可以让学生讨论解决，让学生深刻体会数形之间的关系和转化，并从中归纳出应用代数问题解决几何问题的基本步骤。

证明：如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)。

设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质的点C的坐标为(a+b，c)，因为

所以，

所以，

因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和。

上述解决问题的基本步骤可以让学生归纳如下：

第一步：建立直角坐标系，用坐标表示有关的量。

第二步：进行有关代数运算。

第三步；把代数结果“翻译”成几何关系。

思考：同学们是否还有其它的解决办法？还可用综合几何的方法证明这道题。

课后练习

1.证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等

2.在直线x-3y-2=0上求两点，使它与(-2，2)构成一个等边三角形。

1．点到直线距离公式：

点到直线的距离为：

(1)提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线的距离呢?

学生可自由讨论。

(2)数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线的距离d是点P到直线的垂线段的长.

这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为 一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

设点P到直线的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥可知，直线PQ的斜率为(A≠0)，根据点斜式写出直线PQ的方程，并由与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线的距离为d　

此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

方案二：设A≠0，B≠0，这时与轴、轴都相交，过点P作轴的平行线，交于点；作轴的平行线，交于点，

由得.

所以，｜PR｜＝｜｜＝

｜PS｜＝｜｜＝

｜RS｜＝×｜｜由三角形面积公式可知：.｜RS｜＝｜PR｜.｜PS｜

所以

可证明，当A=0时仍适用

这个过程比较繁琐，但同时也使学生在知识，能力，意志品质等方面得到了提高。

3．例题应用，解决问题。

例1.求点P=(-1，2)到直线　 3x=2的距离。

解：d=

例2 .已知点A(1，3)，B(3，1)，C(-1，0)，求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则

S=,，

AB边上的高h就是点C到AB的距离。AB边所在直线方程为

，即x+y-4=0。

点C到X+Y-4=0的距离为h，h=，

因此，S=

通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

同步练习：108页第1，2题。

4.课堂练习：

1.已知一直线被两平行线3x+4y-7=0与3x+4y+8=0所截线段长为3。且该直线过点(2，3)，求该直线方程。

2.求点P(2，-1)到直线2+3－3＝0的距离.

3.已知点A(，6)到直线3－4＝2的距离d=4，求的值：

归纳小结：点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式

作业布置： 110页6、7、8、9

课后记:

课题：两平行线间的距离

课　　 型：新授课

教学目标：使学生掌握点到直线的距离公式及其结构特点，并能运用这一公式，学习并领会寻找点到直线距离公式的思维过程以及推导方法，教学中体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力．推导两平行线间的距离公式并能灵活运用。

教学重点：两平行线间的距离公式的研究探索过程.

教学难点：点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式的应用.

教学过程：

1、提问：两点间的距离公式

2、点到直线的距离是什么？怎样正确运用这一公式？

3、讨论：两条平行直线间的距离怎样求？

教学两条平行直线间的距离：

1)讨论：两条平行直线间的距离怎么求？(是指夹在两条平行直线间公垂线段的长)

2)可以将平行直线间的距离转化为点到直线的距离

已知两条平行线直线和的一般式方程为：，

：，则与的距离为

证明：设是直线上任一点，则点P₀到直线的距离为

又

即，∴d＝　

思考：若二平行线中x,y的系数不相同如何处理？

这一公式的本质是利用了等价转化思想。

例1．已知直线，与是否平行？若平行，求与间的距离

例2．求与直线平行且到的距离为2的直线的方程

例3．求与两条平行直线的距离相等的直线方程。

1.若直线与直线平行，则的值

2.求两条平行直线的距离，

3．过作直线，使之与点的距离等于2，求这条直线方程。

4．求过点，且与距离相等的直线方程

归纳小结：二平行直线的距离公式是点到直线距离公式的一个应用；解题时，要重视数学思想和方法的运用。

作业布置：110页B组4、5、8、9

课后记:

课题：直线的综合应用(1)

课　　 型：习题课

教学目标：巩固倾斜角、斜率等概念；熟练掌握直线方程的各种形式；能正确判定两直线的位置关系。

教学重点：直线知识的掌握及应用

教学难点：数学思想方法在直线解题中的应用

教学过程：

1、倾斜角、斜率等概念

2、直线方程的各种形式

3、两直线的位置关系

4、距离公式

1、直线的倾斜角是(　　 )

　 (A)30°　　　 (B)120°　　　 (C)60°　　　 (D)150°

2、直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在直线3x-y=0上，则k的值为(　　 )

(A)1　　　　　 (B)2　　　　 (C)　　　 (D)0

3、两直线3x+2y+m=0和(m²+1)x-3y-3m=0的位置关系是(　 )

　 (A)平行　　　　 (B)相交　　 (C)重合　　　 (D)视M而定

4、直线3x+4y-12=0和6x+8y+6=0间的距离是　　　　

5．下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(A)若直线l₁与l₂的斜率相等，则l₁//l₂　

(B)若直线l₁//l₂，则l₁与l₂的斜率相等

(C)若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则它们一定相交　

(D)若直线l₁与l₂的斜率都不存在，则l₁//l₂

6．下列说法中不正确的是

　 (A)点斜式y–y₁=k(x–x₁)适用于不垂直于x轴的任何直线

　 (B)斜截式y=kx+b适用于不垂直于x轴的任何直线

　 (C)两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线

　 (D)截距式适用于不过原点的任何直线

7．下列四个命题中，真命题的个数是

　 ①经过定点P₀(x₀, y₀)的直线，都可以用方程y–y₀=k(x–x₀)来表示

　 ②经过任意两点的直线，都可以用方程(y–y₁)(x₂–x₁)=(x–x₁)(y₂–y₁)来表示

　 ③不经过原点的直线，都可以用方程来表示

　 ④经过点A(0, b)的直线，都可以用方程y=kx+b来表示

　 (A)0个　 (B)1个　 (C)2个　 (D)4个

8．经过点(–3, –2)，在两坐标轴上截距相等的直线的方程为

　　　　　　　　　　　　　

9．直线bx+ay=1在x轴上的截距是

　 (A)　 (B)b　 (C)　 (D)|b|

10．两条直线l₁: y=kx+b, l₂: y=bx+k( k>0, b>0, k≠b)的图象是下图中的

(A)　　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　　　　　　 (D)

例1．等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x+3y–6=0上，顶点A的坐标是(1, –2)，求边AB, AC所在的直线方程.

例2．光线沿直线l₁: x–2y+5=0的方向入射到直线l: 3x–2y+7=0上后反射出去，求反射光线l₂所在的直线方程.

例3．求函数的最小值

例4．已知直线L过点M( 1 , 2 )，求L的方程

(1)与坐标轴在第一象限所围成之三角形面积最小；

(2)a、b分别为x轴、y轴上的截距，a+b最小；

(3)L在x轴、y轴上的交点分别为A、B，|MA||MB|最小。

提高练习

1．直线在x轴、y轴上的截距分别是

　 (A)a², –b²　 (B)a², ±b　 (C)a², –b²　 (D)±a, ±b

2、点P(x,y)在直线x+y-4=0上，O是坐标原点，则│OP│的最小值是(　　 )

　(A)　　　　(B)　　　　(C)2　　　　(D)

3、设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x, 则被y=x 反射后,反射光线所在的直线方程是(　　 )

　(A)x-2y-1=0　　　 (B)x-2y+1=0　 (C)3x-2y+1=0　　 (D)x+2y+3=0

4．若点P是x轴上到A(1, 2), B(3, 4) 两点距离的平方和最小的点，则点P的坐标是

　 (A)(0, 0)　 (B)(1, 0)　 (C)(, 0)　 (D)(2, 0)

5．已知过点A(1,1)且斜率为－m(m >0)的直线l与x、y轴分别交于P、Q两点，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R、S，求四边形PRSQ的面积的最小值。

6. 三角形的一个顶点为(2，－7)，由其余顶点分别引出的高线和中线分别为 ， ．求三角形三边所在直线的方程．

归纳小结:巧用性质解题是解析几何中的常用方法，关鍵是有效联想，合理构造。

作业布置：114页A组各题

课后记:

课题：直线方程的综合应用(2)

课　　 型：习题课

教学目标：进一步加深掌握直线知识，并能灵活运用知识解决有关问题

教学重点：直线方程的综合运用

教学难点：解决问题的方法与策略

教学过程：

1. 已知点A(1，2)、B(3，1)，线段AB的垂直平分线的方程是

(A). 　 　　　　　　(B). 　

(C). 　　 　　　　　　(D).

2. 已知点(a,2)(a>0)到直线l：x-y+3=0的距离为1，则a等于

(A).　　 (B). 　　　(C).　　　 (D). 1+

3. 直线和直线的位置关系是

(A).相交但不垂直　　 (B).垂直　　　 (C). 平行　　　 (D).重合

4. 直线与直线的夹角为

(A).　　　 (B).　　　 (C).　　　 (D).

5．过点M(2, 1)的直线与x轴、y轴分别交于P、Q两点，若M为线段PQ的中点，则这条直线的方程为

　 (A)2x–y–3=0　 (B)2x+y–5=0　 (C)x+2y–4=0　 (D)x–2y+3=0

6．点P(a+b, ab)在第二象限内，则bx+ay–ab=0直线不经过的象限是

　 (A)第一象限　 (B)第二象限　 (C)第三象限　 (D)第四象限

7．被两条直线x–y=1, y=–x–3截得的线段的中点是P(0, 3)的直线l的方程为　　　　　　　　　　　　　 .

8．直线l₁：3x+4y–12=0与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，过P(1,0)点作直线l平分△AOB的面积，则直线l的方程是　　　　 .

例1．已知定点，动点在直线上运动，当线段最短时，求的坐标.

Y

解：如图。易知当的连线与已知直线垂直

时，的长度最短。

直线的斜率

的斜率

的斜率的方程为：

的坐标为

例2．已知直线l过点P(3, 2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，

(1)求△ABO的面积的最小值及其这时的直线l的方程；

(2)求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值。

例3．为了绿化城市，准备在如图所示的区域内修建一个矩形PQRC的草坪，且PQ∥BC,RQ⊥BC,另外△AEF的内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100m,BC=80m,AE=30m,AF=20m．

(1)求直线EF的方程(4 分 )．

(2)应如何设计才能使草坪的占地面积最大？．

解：(1)如图，在线段EF上任取一点Q，分别向BC,CD作垂线．

由题意，直线EF的方程为：

+=1

(2)设Q(x,20-x),则长方形的面积

S=(100-x)[80-(20-x)]　 (0≤x≤30)

化简，得 S= -x²+x+6000　　 (0≤x≤30)

配方，易得x=5,y=时，S最大，其最大值为6017m²

1．过点M(1, 2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程是　　　　　　 .

2．在直线3x–y+1=0上有一点A，它到点B(1,–1)和点C(2, 0)等距离，则A点坐标为　　　　　　　　 .

3．一条直线l被两条直线4x+y+6=0和3x–5y–6=0截得的线段的中点恰好是坐标原点，则直线l的方程为

(A)6x+y=0　 (B)6x–y=0　 (C)x+6y=0　 (D)x–6y=0

4．若直线(2t–3)x+y+6=0不经过第二象限，则t的取值范围是

(A)(, +∞)　 (B)(–∞, )　 (C)[, +∞]　 (D)(–∞, )

5．设A(0, 3), B(3, 3), C(2, 0)，直线x=m将△ABC面积两等分，则m的值是

　 (A)+1　 (B)–1　 (C)2　 (D)

6．已知点P(a, b)与点Q(b+1, a–1)关于直线l对称，则直线l的方程是

　 (A)y=x–1　 (B)y=x+1　 (C)y=–x+1　 (D)y=–x–1

7．过( 2 , 6 )且在x, y轴截距相等的直线方程为　　　　　　　　

归纳小结：数形结合及分类讨论思想是重要的数学思想，解题时要认真领会；解析几何知识用于解决应用题有时很方便，要体会建模。

作业布置：114页B组题

课后记:

课题： 圆的标准方程

课　　 型：新授课

教学目标：　 1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

教学重点：圆的标准方程　　　　　

教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：

(一)、情境设置：

在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？

探索研究：

(二)、探索研究：

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。(其中a、b、r都是常数，r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ①

化简可得：　　　 ②

引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

(三)、知识应用与解题研究

例1．(课本例1)写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点与圆的关系的判断方法：

(1)>，点在圆外

(2)=，点在圆上

(3)<，点在圆内

解:

例2．(课本例2)的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程.

　　　 师生共同分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆.从圆的标准方程　 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.

解:

例3．(课本例3)已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程.

师生共同分析: 如图,确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在线段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。

解:

总结归纳：(教师启发，学生自己比较、归纳)比较例2、例3可得出圆的标准方程的两种求法：

①、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到的值，写出圆的标准方程.

②﹑根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

(四)、课堂练习(课本P₁₂₀练习1，2，3，4)

归纳小结：

1、　 圆的标准方程。

2、　 点与圆的位置关系的判断方法。

3、　 根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业布置：课本习题4.1A组第2，3，4题.

课后记:

课题： 圆的一般方程

课　　 型：新授课

教学目标： 1.在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般

方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x²+

y²+Dx+Ey+F=0表示圆的条件．

2.能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待

定系数法求圆的方程。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的

互化，根据已知条件确定方程中的系数D、E、F．

教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用

教学过程：

问题：求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式--圆的一般方程。

请同学们写出圆的标准方程：

(x－a)²+(y－b)²=r²，圆心(a，b)，半径r．

把圆的标准方程展开，并整理：

x²+y²－2ax－2by+a²+b²－r²=0．

取得

　　 ①

这个方程是圆的方程．

反过来给出一个形如x²+y²+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？

把x²+y²+Dx+Ey+F=0配方得

　　 ②

这个方程是不是表示圆？

　(1)当D²+E²－4F＞0时，方程②　 表示以(-，-)为圆心,为半径的圆；

(2)当时，方程只有实数解，，即只表示一个点(-，-);

(3)当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形

综上所述，方程表示的曲线不一定是圆 只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把形如()的方程称为圆的一般方程。如

我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)

　(1)①x²和y²的系数相同，不等于0．

　②没有xy这样的二次项．

　 (2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征比较明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

(三)、知识应用与解题研究：

例1．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于来说，这里的

.

解：

例2．(课本例4)求过三点A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

　 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先设出圆的一般方程　

解：设所求的圆的方程为：

∵在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于的三元一次方程组.

即

解此方程组，可得：

∴所求圆的方程为：

；

得圆心坐标为(4，-3).

或将左边配方化为圆的标准方程，,从而求出圆的半径，圆心坐标为(4,-3)

学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：

①、根据提设，选择标准方程或一般方程；

②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。

例3、已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上

运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满

足方程。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解：设点M的坐标是(x,y),点A的坐标是

　 　① 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

上运动，所以点A的坐标满足方程,即②

把①代入②，得

　 　　

课堂练习： 第1、2、3题

课堂小结 ：

1．对方程的讨论(什么时候可以表示圆)

2．与标准方程的互化

3．用待定系数法求圆的方程

4．求与圆有关的点的轨迹。

课后作业：课本习题4.1A组第6题,B组第1,2题

课后记:

课题：直线与圆的位置关系(第一课时)

课　　 型：新授课

教学目标：1、理解直线与圆的位置的种类；

2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法

教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．

教学过程：

问题：初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有哪几类？在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？现在，如何用直线的方程与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？

(一)．直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法.

方法1:

如图:

设直线：，圆：，圆的半径为，圆心到直线的距离为，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：

(!)当时，直线与圆相离；

(2)当时，直线与圆相切；

(3)当时，直线与圆相交.

方法2:

判断直线L与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有两组实数解, 直线L与圆C相交; 如果有一组实数解, 直线L与圆C相切; 如果没有实数解, 直线L与圆C相离.

例1．(课本例1)已知直线:3+y6=0和圆心为C的圆,判断直线与圆C的位置关系; 如果相交,求它们交点的坐标.

(二)． 直线与圆的相交弦长求法.

例2．(课本例2)知过点M(-3,-3)的直线被圆所截得的弦长为,求直线的方程

课堂练习：课本第1、2、3、4题

课堂小结 ：

教师提出下列问题让学生思考：

1、判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

2、如何求出直线与圆的相交弦长？

课后作业：课本习题4.2A组第1，2，5题。

课后记:

课题：直线与圆的位置关系(第二课时)

课　　 型：习题课

教学目标：1、理解直线与圆的位置的种类；

2、利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；

3、会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．

教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法

教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系．

教学过程：

1、判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？

2、如何求出直线与圆的相交弦长？

1、求过点M(1，2)且与圆相切的直线方程。

答案：

2、已知圆的方程是，求经过圆上一点M()的切线的方程。答案：

3、当k为何值时，直线y=kx+10与圆

(1)相离；　 (2)相切；　　 (3)相交

答案：(1)；(2)；(3)或

4、圆上到直线：x+y+1=0的距离为的点有几个？

答案：3个

5、若直线与曲线恰好有一个公共点，则k的取值范围是

答案：或

6、已知圆C：与直线。

证明：不论m取何值时直线与圆C总有两个交点。

7、已知点A(2，0)，B(0，2)，圆上一点C，则

△ABC面积的最小值为

答案：

课后作业：课本习题4.2A组第4，6题，B组第3题。

课后记:

课题：　 圆与圆的位置关系

课　　 型：新授课

教学目标：(1)理解圆与圆的位置关系的种类；

(2)利用平面直角坐标系中两点间的距离公式求两圆的连心线长；

(3)会用连心线长判断两圆的位置关系．

教学重点、难点：用坐标法判断圆与圆的位置关系．

教学过程：

问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？怎样判断？(引入课题)

问题2：初中学过的平面几何中，圆与圆的位置关系有几类？(引入新课)

问题：判断两圆的位置关系，你有什么好的方法吗？(学生展开讨论)

例1．(课本例3)已知圆　，圆：=0试判断圆与圆的关系。

分析:

解法一:

说明：(见第129页)

解法二:

小结：

设两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

(1)当时，圆与圆相离；

(2)当时，圆与圆外切；

(3)当时，圆与圆相交；

(4)当时，圆与圆内切；

(5)当时，圆与圆内含；

课堂练习：1.课本练习 ;　

　　 2.圆和圆的公切线有　 3　 条

3.求圆心为(2,1),且与已知圆的公共弦所在直线过点(5,2)的圆的方程.

　　 答案:

4.两圆与相交于PQ两点,则公共弦PQ的长为　　　 6　　　 .

课后作业：课本习题4.2A组第7，9，10题。

课后记:

课题：直线与圆的方程的应用(第一课时)

课　　 型：新授课

教学目标：(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；

(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．

教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．

教学过程：

问题1：如何判断直线与圆的位置关系 ？

问题2： 如何判断圆与圆的位置关系 ？

直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，这几节课我们将通过一些例子学习直线与圆的方程在实际生活以及平面几何等方面的应用

例1．(课本例4) 图4。2-5是某圆拱形桥的示意图。这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱的高度(精确到0.01m).

小结方法: 用坐标法解决实际应用题的步骤：

第一步：将实际应用题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成实际结论，．

例2．(课本例5)已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直,求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.

小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

课堂练习： 课本练习第2，3，4题;

课后作业：课本习题4.2A组第8，11题.B组第1题

课后记:

课题：直线与圆的方程的应用(第二课时)

课　　 型：习题课

教学目标：(1)理解直线与圆的位置关系的几何性质；

(2)利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；

(3)会用“数形结合”的数学思想解决问题．

教学重点、难点：直线与圆的方程的应用．

教学过程：

1． 如果方程()所表示的曲线关于直线对称，那么必有( B　 )

A．D=E　　　　　　 B.D+E=0　　　　　 C.E+F=0　　　　 D.以上都不对

2．从点P(x，3)向圆作切线，则切线长度的最小值等于　　　 。

答案：

3．自点P(-3,-3)发出的光线经x轴反射,其反射光线正好与圆相切,求入射光线所在的直线方程 .

答案：或

4． 已知圆C满足(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3：1；(3)圆心到直线：x2y=0的距离为，求该圆的方程。

答案：或

5．已知圆C：(r0)与直线：，(1)试问r分别取何值时，圆C上恰有一点到的距离等于1；圆C上恰有两点到的距离等于1；圆C 上恰有三点到的距离等于1。(2)圆C 上最多有几个点到的距离等于1？

答案：(1)；；(2)最多有四个点。

6. 已知圆O：,求过A(1,2)所作的圆O的弦MN的中点P的轨迹.

答案：以(,1)为圆心,为半径的圆.

小结方法: 用坐标法解决几何问题的步骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

课堂练习： 课本复习参考题A组第6，8题; B组第3题;

课后作业：课本习题4.2B组第2，4，5题

课后记:

课题： 　4.3.1 空间直角坐标系(1)

教材分析：

解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．

课　　 型： 新授课

教学要求：

　　 使学生能通过用类比的数学思想方法得出空间直角坐标系的定义、建立方法、以及空间的点的坐标确定方法．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

教学重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标

教学难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标

教学过程：

1.在初中，我们学过数轴，那么什么是数轴？决定数轴的因素有哪些？数轴上的点怎样表示？

2．在初中，我们学过平面直角坐标系，那么如何建立平面直角坐标系？决定平面直角坐标系的因素有哪些？平面直角坐标系上的点怎样表示？如何借助平面直角坐标系表示学生的座位?能用直角坐标系表示教室里灯泡的位置吗？

1.空间直角坐标系：

如图4.3-1(课本), 是单位正方体.以O为原点，分别以射线OA,OC,O的方向为正方向，以线段OA,OC,O的长为单位长，建立三条数轴：x 轴，y轴，z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.其中点O叫做坐标原点，x 轴，y轴，z轴叫做坐标轴. 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．

将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°，而z轴垂直于y轴，，y轴和z轴的长度单位相同，x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的长度的一半，这样三条轴上的单位长度在直观上大体相等．

2. 右手直角坐标系：

在空间直角坐标系中，让右手大拇指、食指和中指相互垂直时，大拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向，则称这个坐标系为右手坐标系，如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手坐标系．

3．空间直角坐标系中的点与有序书组之间的关系：

1)已知M为空间一点，过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P、Q、R，这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x，y，z．这样空间的一点M就唯一确定了一个有序数组x，y，z．这组数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．坐标为x，y，z的点M通常记为M(x，y，z)．

2)反过来，一个有序数组x，y，z，我们在x轴上取坐标为x的点P在y轴上取坐标为y的点Q，在z轴上取坐标为z的点R，然后通过P、Q、R分别作x 轴，y轴，z轴的垂直平面．这三个平面的交点M即为有序数组x，y，z为坐标的点．数x，y，z就叫做点M的坐标，并依次称x，y，z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．

3)坐标为x，y，z的点M通常记为M(x，y，z)．我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x，y，z之间的一一对应关系

4.例题1(课本例1)：在长方体中，写出四点坐标.(建立空间直角坐标系写出原点坐标各点坐标)

讨论： 若以C点为原点，以射线BC、CO、C方向分别为ox、oy、oz轴的正半轴，建立空间直角坐标系，那么，各顶点的坐标又是怎样的呢？

(得出结论：不同的坐标系的建立方法，所得的同一点的坐标也不同．)

1．练习：　1, 2，3.

2. 已知M (2, -3, 4)，画出它在空间直角坐标系中的位置．

3. 思考题：建立适当的直角坐标系，确定棱长为3的正四面体各顶点的坐标．

1．空间直角坐标系的建立．

2．空间直角坐标系内点的坐标的确定过程.

3．空间直角坐标系中点的位置的确定．

1.课本　习题4.3　 A组　2

课后记:

课题：　 4.3.1 空间直角坐标系(2)

教材分析：

解析几何是用代数方法研究解决几何问题的一门数学学科，空间直角坐标系的建立是为以后的《空间向量及其运算》打基础的．同时，在第二章《空间中点、直线、平面的位置关系》第一节《异面直线》学习时，有些求异面直线所成角的大小，借助于空间向量来解答，要容易得多，所以，本节课为沟通高中各部分内容知识，完善学生的认知结构起到很重要的作用．

课　　 型： 新授课

教学要求：

使学生熟练掌握求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，熟记已知两点的中点坐标公式，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标．

教学重点：

求坐标轴上的点和坐标平面上的点的坐标，会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点坐标，熟记已知两点的中点坐标公式．

教学难点：会求一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标

教学过程：

1．空间直角坐标系中点的坐标如何确定？已知点的坐标如何确定点的位置？

2．练习：在空间直角坐标系中，作出点(5，4，6)．

1．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：

x轴上的点的坐标的特点：P(m，0，0)，纵坐标和竖坐标都为零．

y轴上的点的坐标的特点：P(0，m，0)，横坐标和竖坐标都为零．

z轴上的点的坐标的特点：P(0，0，m)，横坐标和纵坐标都为零．

xOy坐标平面内的点的特点：P(m，n，0)，竖坐标为零．

xOz坐标平面内的点的特点：P(m，0，n)，纵坐标为零．

yOz坐标平面内的点的特点：P(0，m，n)，横坐标为零．

2．已知两点的中点坐标：

平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设A(，， )，B(，　)，则AB中点的坐标为().

　　 请同学门熟记以上公式.

3．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点

　 点P(x，y，z)关于坐标原点的对称点为(-x，-y，-z)；

点P(x，y，z)关于坐标横轴(x轴)的对称点为(x，-y，-z)；

点P(x，y，z)关于坐标纵轴(y轴)的对称点为(-x，y，z)；

点P(x，y，z)关于坐标竖轴(z轴)的对称点为(-x，-y，-z)；

点P(x，y，z)关于xOy坐标平面的对称点为(x，y，-z)；

点P(x，y，z)关于yOz坐标平面的对称点为(-x，y，z；)

点P(x，y，z)关于zOx坐标平面的对称点为(x，-y，z)．

　点评：其中记忆的方法为：关于谁谁不变，其余的相反．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数．

1．课本　 习题4.3　 A组　1

2．已知点B(1，1，1)，分别求出该点关于x轴、z轴、原点和xOy坐标平面的对称点的坐标．

3．在空间直角坐标系O－xyz中，关于点(0，，m)一定有下列结论(　)

A．在xOy坐标平面上

B．在xOz坐标平面上

C．在yOz坐标平面上

　D．以上都不对

1．坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点

2．中点坐标公式

3．一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点

　全优设计　主动成长　1，2，4，5，6，7，，．

课后记:

课题：　 4.3.2 空间两点间的距离公式(1)

教材分析：

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．

课　　 型： 新授课

教学要求：使学生掌握空间两点的距离公式由来，及应用．

教学重点：空间两点的距离公式．

教学难点：空间两点的距离公式的推导

教学过程：

1.　　　 提问：平面两点间的距离公式？

2.　　　 给你一块砖，你如何量出它的对角线长，说明你的理由 ．

3.　　　 建筑设计中常常要计算空间两点间的距离公式，你能用两点的坐标表示这两点间的距离吗？

2．例题1：求点P₁(1, 0, -1)与P₂(4, 3, -1)之间的距离．

　　　　　 要求学生熟记公式并注意公式的准确运用

　　 练习：求点之间的距离

3．例题2：已知A(x，2,3)、B(5,4，7)，且|AB|=6，求x的值．

分析：利用空间两点间的距离公式，寻找关于x的方程，解方程即得．

解：|AB|=6，∴

　　 即，解得x=1或x=9

　　 ∴x=1或x=9

总结：求字母的值，常利用方程的思想，通过解方程或方程组求解．

练习：已知A(2,5，-6)，在y轴上求一点B，使得|AB|=7．

答案：B(0,2，0)或B(0,8，0)．

4．思考：1.在z轴上求与两点 A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距离的点．

2. 试在xOy平面上求一点，使它到A(1,-1,5)、B(3,4,4)和C(4,6,1)各点的距离相等．

1．　练习 1、3

2．已知三角形的顶点为A(1，2，3)，B(7，10，3)和C(4，10，0)．试证明A角为直角．

1．空间两点的距离公式的推导．

2．公式的应用

1．课本　练习　 第2，4题

2．课本　习题4.3　 A组 第3题　B组 　第1题

课后记:

课题：　 4.3.2 空间两点间的距离公式(2)

教材分析：

距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常设计距离，如飞机和轮船的航线的设计，它虽不是直线距离，但也涉及两点之间的距离，一些建筑设计也要计算两点之间的距离，所以本节内容为解决实际问题提供了方便．

课　　 型： 新授课

教学要求：使学生熟练掌握空间两点的距离公式及应用．

教学重点：空间两点的距离公式的应用．

教学难点：空间两点的距离公式的应用．

教学过程：

1．两点间的距离公式．

1．例题1．在四面体P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，设PA=PB=PC=a，求点P到平面ABC的距离．

H

解：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P-xyz，则P(0,0，0)，A(a,0,0)，B(0,a,0)，C(0,0,a).

过P作PH平面ABC，交平面ABC于H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离．

PA=PB=PC,∴H为ABC的外心，

又ABC为正三角形，∴H为ABC的重心．由定比分点公式，可得H点的坐标为

∴|PH|=．

∴点P到平面ABC的距离为．

2．例题2．在棱长为a的正方体-中，求异面直线间的距离．

解：以D为坐标原点，从D点出发的三条棱所在直线为坐标轴，建立如图所求的空间直角坐标系．

设P、Q分别是直线和上的动点，其坐标分别为(x, y, z)、(0，)，则由正方体的对称性，显然有x=y．

要求异面直线间的距离，即求P、Q两点间的最短距离．

　设P在平面AC上的射影是H，由在中，，所以，∴x=a-z，

∴P的坐标为(a-z, a-z, z)

∴|PQ|=

　　　 =

∴当时，|PQ|取得最小值，最小值为．

∴异面直线间的距离为．

3．例题3．点P在坐标平面xOy内，A点的坐标为(-1,2，4)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹是什么？

分析：因点P一方面在坐标平面xOy内，另一方面满足条件|PA|=5，即点P在球面上，故点P的轨迹是坐标平面xOy与球面的交线．

解：设点P的坐标为(x, y, z)．

　　 点P在坐标平面xOy内，∴z=0

　　 |PA|=5，∴，

即=25，

∴点P在以点A为球心，半径为5的球面上，

∴点P的轨迹是坐标平面xOy与以点A为球心，半径为5的球面的交线，即在坐标平面xOy内的圆，且此圆的圆心即为A点在坐标平面xOy上射影(-1,2，0)．

点A到坐标平面xOy的距离为4，球面半径为5，

∴在坐标平面xOy内的圆的半径为3．

∴点P的轨迹是圆=9，z=0．

小结：对于空间直角坐标系中的轨迹问题，可用平面直角坐标系中的轨迹问题的求解方法类比解决．

三：巩固练习：

1．课本　习题4.3 B组 第2题

2．点P在坐标平面xOz内，A点的坐标为(1,3，-2)，问满足条件|PA|=5的点P的轨迹方程．

答案：点P的轨迹方程是=16，y=0．

1．空间两点的距离公式的应用．

1．课本　习题4.3　 B组 第3题

课后记:

课题：空间几何体复习

教材分析：

本节可是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章知识，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．

课　　 型：复习课

教学要求：

1．利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料(如：纸板)制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3．通过观察用两种方法(平行投影与中心投影)画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；

4．完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求)．

教学重点：1．空间几何体的结构特征．2．由三视图还原为实物图．3．面积和体积的计算

教学难点：1．由三视图还原为实物图．2．组合体的结构特征．

教学过程：

1．例1．(1)平面的斜线 AB 交于点 B，过定点 A 的动直线与 AB 垂直，且交于点 C，则动点C的轨迹是(　 A　 )

A．一条直线　　　 B．一个圆　　　 C．一个椭圆　　　 D．双曲线的一支

(2)定点A和B都在平面内，定点　C是内异于A和B的动点，且那么，动点在平面内的轨迹是( B　 )

A．一条线段，但要去掉两个点　　 B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点　　 D．半圆，但要去掉两个点

(3)正方体ABCD_A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P到直线A₁D₁的距离为，则点P的轨迹是[　 C　 ]

A.圆　　　　　　　 　 　 B.双曲线　　　　　　　 　 　 C.两个点　　　 　　　 　　 D.直线

点评：该题考察空间内平面轨迹的形成过程，考察了空间想象能力．

2．例2．(两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均ZAI在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有( D )

A．1个　B．2个　 C．3个　D．无穷多个

点评：本题主要考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积．正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化．

3．例3．表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB、CD、EF和GH在原正方体中相互异面的有 3　　 对.

点评：解决此类题目的关键是将平面图形恢复成空间图形，较强的考察了空间想象能力．

4．例4．如图9-1，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点.将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为(　 B　 )

A．90°　　 B．60°　　 C．45°　 D．0°

点评：在画图过程中正确理解已知图形的关系是关键．通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力．而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向．

5．例5．是正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若的面积为，那么△ABC的面积为_______________．

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系．特别底和高的对应关系．

6．例6．(1)如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是( C　 )

A．①③　　　 B．②③④　　　　 C．③④　　　　 D．②④

　

(2)E、F分别为正方体的面ADD₁A₁、面BCC₁B₁的中心，则四边形BFD₁E在该正方体的面上的射影可能是　 ②　　 (要求：把可能的图的序号都填上).

点评：考查知识立足课本，对空间想象能力、分析问题的能力、操作能力和思维的灵活性等方面要求较高，体现了加强能力考查的方向．

7．例7．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是 ①3； ②4；　 ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________________(写出所有正确结论的编号)．

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得

①③④⑤

的综合题目．

8．例8．某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

解析：该几何体为一个正四棱锥分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图．

点评：主视图反映物体的主要形状特征，主要体现物体的长和高，不反映物体的宽．而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等．左视图和 俯视图共同反映物体的宽要相等．据此就不难得出该几何体的形状．

3．空间几何体的概念。

教材复习参考题

课后记:

课题：点、直线、平面之间的位置关系复习

教材分析：

前面学习了空间点、直线、平面之间的位置关系，直线、平面平行的判定及其性质，直线、平面垂直的判定及其性质等内容；通过本节学习进一步巩固前面学习的内容，突出重点总结归律，使原来的知识更系统，使原来的方法更清晰，形成完整的知识结构和方法体系。

课　　 型：复习课

教学要求：

1．理解掌握空间点、直线、平面之间的位置关系．

2．熟练应用直线、平面平行和垂直的判定及其性质解决立体几何问题．

3．通过本章学习逐步提高学生的空间想像能力，学会用数学方法认识世界改造世界．

教学重点：总结证明平行问题和证明垂直问题的方法。

教学难点：总结求二面角的方法。

教学过程：

1．例1．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别为棱BC、CC₁、C₁D₁、AA₁的中点，O为AC与BD的交点(如图)，求证：(1)EG∥平面BB₁D₁D；(2)平面BDF∥平面B₁D₁H；(3)A₁O⊥平面BDF；(4)平面BDF⊥平面AA₁C。

解析：

　 (1)欲证EG∥平面BB₁D₁D，须在平面BB₁D₁D内找一条与EG平行的直线，构造辅助平面BEGO’及辅助直线BO’，显然BO’即是。

　 (2)按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面B₁D₁H内寻找B₁D₁和O’H两条关键的相交直线，转化为证明：B₁D₁∥平面BDF，O’H∥平面BDF。

(3)为证A₁O⊥平面BDF，由三垂线定理，易得BD⊥A₁O，再寻A₁O垂直于平面BDF内的另一条直线。

猜想A₁O⊥OF。借助于正方体棱长及有关线段的关系计算得：A₁O²+OF²=A₁F²A₁O⊥OF。

　 (4)∵ CC₁⊥平面AC

∴ CC₁⊥BD

又BD⊥AC

∴ BD⊥平面AA₁C

又BD平面BDF

∴ 平面BDF⊥平面AA₁C

评注：化“动”为“定”是处理“动”的思路

2．例2．如图，三棱锥D-ABC中，平面ABD、平面ABC均为等腰直角三角形，∠ABC=

∠BAD=90⁰，其腰BC=a，且二面角D-AB-C=60⁰。

(1)求异面直线DA与BC所成的角；

(2)求异面直线BD与AC所成的角；

解析：

(1)在平面ABC内作AE∥BC，从而得∠DAE=60⁰

　∴ DA与BC成60⁰角

(2)过B作BF∥AC，交EA延长线于F，则∠DBF为BD与AC所成的角

　由△DAF易得AF=a，DA=a，∠DAF=120⁰

　∴ DF²=a²+a²-2a².()=3a²

　∴ DF=a

△DBF中，BF=AC=a

∴ cos∠DBF=

∴ 异面直线BD与AC成角arccos

3．例3．如图，斜三棱柱ABC-A’B’C’中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA’与底面相邻两边AB、AC都成45⁰角，求此三棱柱的侧面积和体积。

解析：

在侧面AB’内作BD⊥AA’于D

连结CD

∵ AC=AB，AD=AD，∠DAB=∠DAC=45⁰

∴ △DAB≌△DAC

∴ ∠CDA=∠BDA=90⁰，BD=CD

∴ BD⊥AA’，CD⊥AA’

∴ △DBC是斜三棱柱的直截面

在Rt△ADB中，BD=AB.sin45⁰=

∴ △DBC的周长=BD+CD+BC=(+1)a，△DBC的面积=

∴ S_侧=b(BD+DC+BC)=(+1)ab

∴ V=.AA’=

评注：求斜棱柱的侧面积有两种方法，一是判断各侧面的形状，求各侧面的面积之和，二是求直截面的周长与侧棱的乘积，求体积时同样可以利用直截面，即V=直截面面积×侧棱长。

4．例4．在三棱锥P-ABC中，PC=16cm，AB=18cm，PA=PB=AC=BC=17cm，求三棱锥的体积V_P-ABC。

解析：

取PC和AB的中点M和N

∴

在△AMB中，AM²=BM²=17²-8²=25×9

∴ AM=BM=15cm，MN²=15²-9²=24×6

∴ S_△AMB=×AB×MN=×18×12=108(cm²)∴ V_P-ABC=×16×108=576(cm³)

评注：把一个几何体分割成若干个三棱锥的方法是一种用得较多的分割方法，这样分割的结果，一方面便于求体积，另一方面便于利用体积的相关性质，如等底等高的锥体的体积相等，等底的两个锥体的体积的比等

2.直线的方程和直线的位置关系的应用.

3.激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力.

教学难点：

1.　　　 数形结合和分类讨论思想的渗透和理解.

2.　　　 处理直线综合问题的策略.

教学过程：

1．例1.下列命题正确的有　　　 ⑤　　　 :

①每条直线都有唯一一个倾斜角与之对应,也有唯一一个斜率与之对应;

②倾斜角的范围是:0°≤α<180°,且当倾斜角增大时,斜率也增大;

③过两点A(1,2),B(m,-5)的直线可以用两点式表示;

⑤直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零),当A,B,C中有一个为零时,这个方程不能化为截距式.

⑥若两直线平行,则它们的斜率必相等;

⑦若两直线垂直,则它们的斜率相乘必等于-1.

2．例2.若直线与直线，则时，a_________;时，a=__________;这时它们之间的距离是________;时，

a=________　　　 .

答案：;;;

3．例3．求满足下列条件的直线方程：

(1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；

(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直；

(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等；

(4)经过点M(1，2)且与点A(2,3)、B(4,-5)距离相等；

答案： (1)2x+3y-1=0　　 　　 (2)2x-y+5=0

(3)x+y-1=0或3x+2y=0　　　 (4)4x+y-6=0或3x+2y-7=0

4．例4．已知直线L过点(1,2)，且与x，y轴正半轴分别交于点A、B

(1)求△AOB面积为4时L的方程；

解： 设A(a,0)，B(0,b)　　 ∴a,b>0

　　 ∴L的方程为　　　 ∵点(1,2)在直线上

　　 ∴　　 ∴　 ① ∵b>0　 ∴a>1

　　 (1) S_△AOB==　=4　　　　

　　　　 ∴a=2　 这时b=4　 　∴当a=2，b=4时S_△AOB为4

　　　　 此时直线L的方程为即2x+y-4=0

　　 (2)求L在两轴上截距之和为时L的方程．

2) 　　　∴　 这时

　 ∴L在两轴上截距之和为3+2时，直线L的方程为y=-x+2+

　 5．例5．已知△ABC的两个顶点A(-10，2)，B(6，4)，

垂心是H(5，2)，求顶点C的坐标．

解: ∵　 ∴

∴直线AC的方程为　

　即x+2y+6=0　 (1)

又∵　 ∴BC所在直线与x轴垂直　

故直线BC的方程为x=6　 (2)

解(1)(2)得点C的坐标为C(6,-6)

教材复习参考题

课后记:

课题：圆与方程复习

教材分析：

　本章在第三章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。

课　　 型：复习课

教学要求：

1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。

2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。

3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。

4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。

教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。

教学过程：

1．例1。(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;

(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程

解：(1)设圆心P(x₀,y₀),则有,

解得　 x₀=4, y₀=5, 　

∴半径r=,

∴所求圆的方程为(x─4)²+(y─5)²=10

(2)采用一般式,设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0

点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式

2．例2。设A(－c，0)、B(c，0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0)，求P点的轨迹

分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题

解：设动点P的坐标为(x，y)，

由=a(a>0)得=a，

化简，得

(1－a²)x²+2c(1+a²)x+c²(1－a²)+(1－a²)y²=0

当a=1时，方程化为x=0

当a≠1时，方程化为　=

所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；

当a≠1时，点P的轨迹是以点(c，0)为圆心，||为半径的圆

点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想

3．例3。已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程

分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系

设动圆圆心为M(x，y)，

⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|

∵AB为⊙O的直径，

∴MO垂直平分AB于O

由勾股定理得|MA|²=|MO|²+|AO|²=x²+y²+9，

而|MC|=|y+3|，

∴=|y+3|

化简得x²=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程

点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”

4．例4。已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C₁:x²+y²─4x─3=0和C₂:x²+y²─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程;　 (2)求两圆C₁和C₂相交弦的方程

解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x²+y²─4x─3+λ(x²+y²─4y─3)=0,

即　 (1+λ)(x²+y²)─4x─4λy─3λ─3=0,

即　 =0,

圆心为 (,),

由于圆心在直线x─y─4=0上,

∴──4=0,　 解得　 λ=─1/3

所求圆的方程为：x²+y²─6x+2y─3=0

(2)将圆C₁和圆C₂的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程

点评：学会利用圆系的方程解题

5．例5。求圆关于直线的对称圆方程

解：圆方程可化为, 圆心O(-2,6),半径为1

设对称圆圆心为，则O^‘与O关于直线对称，

因此有解得

　　　 所求圆的方程为

点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等

教材复习参考题

课后记: