1．了解平行投影与中心投影的概念和简单性质。

2　 理解三视图的含义，能画出简单几何体的三视图，掌握画法规则。

3．能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形。

1．平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线　　　　 。在平行投影中，投影线　　　　 时，叫做正投影，否则叫做　　　　 。 　　　

2．空间几何体的三视图是指　　　　　 、　　　　　 、　　　　　 。

3．三视图的排列规则是　　　　　 放在正视图的下方，长度与正视图一样，　　　 放在正视图一样，宽度与俯视图的宽度一样。

4．三视图的正视图、俯视图、侧视图分别是从　　　　 、　　　　 、　　　　 观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

5．三视图对于认识空间几何体有何作用？你有何体会？

三小试牛刀

1．下列命题正确的是(　 )

A．一个点在一个平面内的投影仍是一个点

B．一条线段在一个平面内的投影仍是线段

C．一条直线在一个平面内的投影仍是一条直线

D．一个三角形在一个平面内的投影仍是三角形

2．一个圆柱的三视图中，一定没有的图形是(　 )

A．正方形　　　　　　　　 B．长方形　　　　　　　　 C．三角形　　　　　　　　 D．圆

3．一个正方形的平行投影的形状可能是　　　　　　　　　　　　　　　 。

4．一个几何体的三视图如下图。

　

则这个几何体的名称是　　　　　　　　　　　　　　 。

1．如图甲所示，在正方体中，E、F分别是、的中点，G是正方形的中心，则四边形AGFE在该正方体的各个面上的投影可能是图乙中的　　　　　　　　　　 。

　

分析：在面ABCD和面上的投影是图乙(1)；在面和面上的投影是图乙(2)；在面和面上的投影是图乙(3)。

答案：(1)(2)(3)

点评：本题主要考查平行投影和空间想象能力。画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点等，画出这些关键点的投影，再依次连接即可得此图形在该平面上的投影。如果对平行投影理解不充分，做该类题目容易出现不知所措的情形，避免出现这种情况的方法是依据平行投影的含义，借助于空间相象来完成。

2．如图(1)所示，E、F分别为正方体面、面的中心，则四边形在该正方体的各个面上的投影可能是图(2)的　　　　　　　　　　 。

　

分析：四边形在正方体的面、面上的投影是C；在面上的投影是B；同理，在面、面、面上的投影也全是B。

答案：B　 C

3．右图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状。

分析：由于俯视图有一个圆和一个四边形，则该几何体是由旋转体和多面体拼接成的组合体，结合侧视图和正视图，可知该几何体是上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体。

答案：上面一个圆柱，下面是一个四棱柱拼接成的组合体，该几何体的形状如图所示。

4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　 )

　

A．①②　　　　　 B．①③　　　　　　　　　　 C．①④　　　　　 D．②④

分析：正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C。

答案：D

点评：虽然三视图的画法比较繁琐，但是三视图是考查空间想象能力的重要形式，因此是新课标高考的必考内容之一，足够的空间想象能力才能保证顺利解决三视图问题。

5．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是(　 )

A．三棱锥　　　　　　　　 B．四棱锥　　　　　　　　

C．四棱台　　　　　　　　 D．三棱台

分析：由所给三视图可以判定对应的几何体是四棱锥。

答案：B

6．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是(　 )

A．8　　　　　　　　　 B．7　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　 D．5

分析：由正视图和侧视图可知，该几何体有两层小正方体拼接成，由俯视图，可知最下层有5个小正方体，由侧视图可知上层仅有一个正方体，则共有6个小正方体。

答案：C

空间几何体的三视图

No.038 班级　　　　 　姓名　　　　 　学号　　　　 　成绩　　　　

A　　 组

1．直线的平行投影可能是(　 )

A．点　　　　　　　　　　　　 B．线段　　　　　　　　　　 C．射线　　　　　　　　　　 D．曲线

2．如图所示，空心圆柱体的正视图是(　 )

3．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　 )

　

A．①②　　　　　　　　　　 B．①③　　　　　　　　　　 C．①④　　　　　　　　　　 D．②④

4．三棱柱，如图所示，以的前面为正前方画出的三视图正确的是(　 )

　

B　　 组

5．如图所示是一个几何体，则其几何体俯视图是(　 )

6．下列物体的正视图和俯视图中有错误的一项是(　 )

7．下列各图，是正六棱柱的三视图，其中画法正确的是(　 )

　

8．如图，图(1)、(2)、(3)是图(4)所表示的几何体的三视图，其中图(1)是　　　　　　　　　 　　 ，图(2)是　　　　 ，图(3)是　　　　 。(说出视图名称)

C　　 组

9．根据图中的三视图想象物体原形，并分别画出物体的实物图。

　

10．如图，E、F分别是正方体的面和面的中心，则四边形在该正方体的面上的正投影(投射线垂直于投影面的投影)可能是图中　　　 (把所有可能图形的序号都填上)。

　

1.2 空间几何体的直观图

1．体会平面图形和空间图形的直观图的含义。

2．结合画直观图的实例，掌握直观图的斜二测画法及步骤。

3．会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图。

4．会用斜二测画法画柱、锥、台、球及其简单组合体等空间图形的直观图。

1．表示空间图形的　　　 　　，叫做空间图形的直观图。

2．用斜二测画法画空间图形的直观图时，图形中平行于轴、轴或轴的线段，在直观图中分别画成　　　 于轴、轴或轴的线段。平行于轴和轴的线段，在直观图中长度　　　 ；平行于轴的线段，长度变为原来的　　　　　 。

3．斜二测画法是一种特殊的　　　　 投影画法。

4．用斜二测画法画水平放置的平面图形时会改变两线段的关系吗？

1．利用斜二测画法叙述正确的是(　 )

A．正三角形的直观图是正三角形　　　　　　　　　 B．平行四边形的直观图是平行四边形

C．矩形的直观图是矩形　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．圆的直观图一定是圆

2．下列结论正确的是(　 )

A．相等的线段在直观图中仍然相等

B．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

C．两个全等三角形的直观图一定也全等

D．两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形是全等三角形

3．直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4cm，若AB//轴，则画出直观图后对应的线段　　　　 ，若轴，则画出直观图后对应的线段=　　　　 　　。

4．水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，则AB边上的中线的实际长度为　　　　　　 。

1．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是(　 )

A．16　　　　　　　　 B．64　　　　　　　　 C．16或64　　　　　　　 D．都不对

分析：根据直观图的画法，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段变为原来的一半，于是长为4的边如果平行于轴，则正方形边长为4，面积为16，边长为4的边如果平行于轴，则正方形边长为8，面积是64。

答案：C

2．利用斜二测画法画直观图时：

①三角形的直观图是三角形；　　 ②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；　　 ④菱形的直观图是菱形。

以上结论中，正确的是　　　　　　　　　　　　　　 。

分析：斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①②正确；但是斜二测画法中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，则正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图不是菱形，所以③④错。

答案：①②

3．一个三角形用斜二测画法画出来的直观图是边长为2的正三角形，则原三角形的面积是(　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．都不对

分析：根据斜二测画法的规则，正三角形的边长是原三角形的底边长，原三角形的高是正三角形高的倍，而正三角形的高是，所以原三角形的高为，于是其面积为

答案：A

4．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于(　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

分析：平面图形是上底长为1，下底长为，高为2的直角梯形。计算得面积为

答案：D

5．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点的直观图中对应点是，则点的找法是　　　　　　　　　　　 。

分析：在轴的正方向上取点，使，在轴上取点，使，过和分别作平行于轴和轴的直线的交点就是

答案：在中，过点和轴平行的直线与过和轴平行的直线的交点即是。

6．根据图中所示物体的三视图(阴影部分为空洞)描绘出物体的大致形状。

　

分析：根据该物体的三视图可以判断该物体的外轮廓是一个正方体，从正面和左面看是一个正方形中间有一个圆形的孔。从而知这两个面应该都有一个圆柱形的孔。

解：由此可以推测该物体大致形状如图所示。

7．若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原来三角形面积的(　 )

A．倍　　　　　　　　 B．倍　　　　　　 C．倍　　　　　　　　 D．倍

分析：直观图也是三角形，并且有一条公共边，但是这条公共边上的高发生变化。直观图中公共边上的高是原三角形中公共边上高的，则直观图的面积是原来三角形面积的倍。

答案：A

空间几何体的直观图

No.039 班级　　　　 　姓名　　　　 　学号　　　　 　成绩　　　　

A　　 组

1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把、、轴画成对应的、、，做与的度数分别为(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．或

2．关于“斜二测”直观图的画法，如下说法不正确的是(　 )

A．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度不变

B．原图形中平行于轴的线段，其对应线段平行于轴，长度变为原来的

C．画与直角坐标系对应的时，必须是

D．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

3．两条相交直线的平行投影是(　 )

A．两条相交直线　　　　　　　　　　 B．一条直线

C．一条折线　　　　　　　　　　　　　　　 D．两条相交直线或一条直线

4．下列叙述中正确的个数是(　 )

①相等的角，在直观图中仍相等；

②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；

③若两条线平行，在直观图中对应的线段仍平行；

④若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直。

A．0　　　　　　　　　　　　　　 B．1　　　　　　　　　　　　　　 C．2　　　　　　　　　　　　　　 D．3

B　　 组

5．水平放置的有一边在水平线上，它的直观图是正，则(　 )

A．锐角三角形　　　　　　　　　　　　 B．直角三角形

C．钝角三角形　　　　　　　　　　　　 D．任意三角形

6．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为、腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(　 )

A．　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

7．一个长方体去掉一角的直观图和图中所示。关于它的三视图，下列画法正确的是(　 )

　

8．如图所示的水平放置的三角形的直观图，是中边的中点，那么、、三条线段对应原图形中线段AB、AD、AC中(　 )

A．最长的是AB，最短的是AC　

B．最长的是AC，最短的是AB

C．最长的是AB，最短的是AD　 D．最长的是AD，最短的是AC

9．平面直角坐标系中点在直观图中对应点，则的找法是　　　 。

10．若线段AB平行于投影面，O是AB上一点，且，则O的平行投影分AB的平行投影的长度之比为　　　　 。

C　　 组

11．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图。

　

12．画水平放置的正五边形的直观图。

1.3 空间几何体的表面积与体积

1．体会球的体积和表面积公式的推导过程，了解无限分割取极限的思想方法。

2．记住球的体积公式和表面积公式，会运用公式进行计算。

1．棱柱的侧面展开图是由　　　　　　　　 ，棱锥的侧面展开图是由　　　　　　 ，梭台的侧面展开图是由　　　　　　　 ，圆柱的侧面展开图是　　　　　　　 ，圆锥的侧面展开图是　　　　 ，圆台的侧面展开图是　　　　 。

2．几何体的表面积是指　　 　　　　　　，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求　　　　　 、　　　　　　 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求　　　　　 、

　　　　　　　 、　　　　　　　　　 　　　 、　　　　　　　　　　　　　　　　 。

3．几何体的体积是指　　　　　　　　　　　　　　 ，一个几何体的体积等于　　　　　　　 。

4．柱体、锥体、台体的体积有何关系？

1．一个长方体的三个面的面积分别为，则这个长方体的体积为(　 )

A．6　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　　　　　 D．

2．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为(　 )

A．2　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　 C．　　　　　　　　　　　　　 D．8

3．长、宽、高分别为的长方体的表面积S=　　　　　　　　　　　 。

4．圆台的上、下底面半径分别为2,4，母线长为，则这个圆台的体积V=　　 。

1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥的母线长为，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为，即，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线(高)长为，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为，根据勾股定理，圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积公式得

2．两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是(　 )

A．1:2:3　　　　　 B．1:7:19　　　　　　　　　 C．3:4:5　　　　　 D．1:9:27

分析：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1:2:3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为.　，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为

答案：B

3．三棱锥的中截面是，则三棱锥与三棱锥的体积之比是(　 )

A．1:2　　　　　　　 B．1:4　　　　　　　 C．1:6　　　　　　　 D．1:8

分析：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1:4，将三棱锥转化为三棱锥，这样三棱锥与三棱锥的高相等，底面积之比为1:4，于是其体积之比为1:4。

答案：B

4．如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为(　 )

A．1　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征。

分析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，图中所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱则该三棱锥的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为

答案：D

点评：本题订考查几何体的三视图和体积，给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得，此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视。

5．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为(　 )

　

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　 D．

分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

答案：C

6．如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为(　 )

A．　　　　　 　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　 D．

分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为，所以这个几何体的体积为

答案：A

7．已知某几何体的俯视图如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形。

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S。

解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥。设底面矩形为ABCD。如图所示，，高

(1)

(2)设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，

在中，BC边上的高为，

在中，AB边上的高为

所以此几何体的侧面积

点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式，一是给出三视图，求其面积或体积；二是与的组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问。

8．如图所示，圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的表面积为(　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

分析：设圆锥的母线长为，则，所以圆锥的表面积为

答案：C

9．正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为，则这个正三棱锥的体积是(　 )

A．　　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．

分析；可得正三棱锥的高，于是

答案：D

10．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的　　　　　　　　　　　　 倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的　　　　　　　　　 倍。

分析：圆柱的体积公式为，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的倍。

答案：4　 16

11．右图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、的中点。现在沿所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几？

分析：因为锯掉的正方体的一个角，所以HA与AG、AF都垂直，即HA垂直于立方体的上底面，实际上锯掉的这个角，是以三角形AGF为底面，H为顶点的一个三棱锥。

解：设正方体的棱长淡，则正方体的体积为

三棱锥的底面是，即为，G、F又分别为AD、AA₁的中点，所以所以的面积为又因AH是三棱锥的高，H又是AB的中点，所以所以锯掉的部分的体积为

又因，所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的

12．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，则圆锥的底面面积是　　　　 。

分析：如图，设圆锥底面半径为母线长为由题意得解得所以圆锥的底面积为

答案：

13．如图，一个正三棱柱容顺路，底面边长为，高为，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，则图中容器内水面的高度是　　　　　　　　　　　 。

分析：图中容器内水面的高度为，水的体积为V，则又图23中水组成了一个直四棱柱，其底面积为，高度为，则

答案：

14．已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是(　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　

C．　　　　　 D．

分析：该几何体是四棱锥，并且长为20cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20cm，底面是边长为20cm的正方形(如俯视图)，所以底面积是，所以该几何体的体积是

答案：B

15．问题：有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　 。

探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：

四棱柱有一种，就是边长为的边重合在一起，表面积为，三棱柱有两种，边长为的边重合在一起，表面积为，边长为的边重合在一起，表面积为，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为，

最小的是一个四棱柱，这说明

答案：

空间几何体的表面积与体积

No.040 班级　　　　 　姓名　　　　 　学号　　　　 　成绩　　　　

A　　 组

1．正方体的全面积是96，则正方体的体积是(　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．16　　　　　　　　　　　　 D．96

2．若圆台的上、下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积和的2倍，则圆台的母线长是(　 )

A．2　　　　　　　　　　　　　　 B．2.5　　　　　　　　　　　　 C．5　　　　　　　　　　　　　　 D．10

3．若圆锥的轴截面是正三角形，则它的侧面积是底面积的(　 )

A．倍　　　　　　　　 B．3倍　　　　　　　　　　　 C．2倍　　　　　　　　　　　 D．5倍

4．如图，在四正体中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且分别截BC、DC于点E、F。如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥与三棱锥的表面积分为、，则必有(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．不能确定

5、如图，在正方体中，三棱锥的表面积与正方体的表面积的比为(　 )

A．　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．

B　　 组

5．六棱柱的两底面是正六边形，侧面是全等的矩形，它的底面边长为4，高为12，则它的全面积是(　 )

A．　　　　　　　　　　　　　　　　　 B．　　　

C．　　　　　　　　　　　　　　　　　 D．

6．若长方体的三个面的面积分别是则长方体的体积为(　 )

A．　　　　　　　　　　 B．　　　　　　　　　　　 C．6　　　　　　　　　　　　　　 D．12

7．五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别为4cm和6cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是5cm，则它的侧面积是　　　　 。

8．正三棱锥的底面边长是，高是，则它的全面积为　　　　 。

9．圆台的两个底面半径是2cm、4cm，截得这个圆台的圆锥的高为6cm，则这个圆台的体积是　　　　 。

C　　 组

10．由8个面围成的几何体，每一个面都是正三角形，且有四个顶点A、B、C、D在同一个平面内，ABCD是边长为20cm的正方形，求此几何体的表面积和体积。

11．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为　　　　 cm²。

12．圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，顶点均在上、下底面的圆周上是正三角形，如果三棱柱的体积为V，圆柱的底面直径与母线长相等，那么圆柱的体积为多少？

13：如图所示，在长方体中，用截面截下一个棱锥，求棱锥的体积与剩余部分的体积之比。

14：如图，已知三棱锥的底面是等边三角形，三条侧棱长都等于1且，M、N分别在棱AC和AD上，求BM+MN+NB的最小值。