(1)已知集合
，则集合M与N的关系为
(
)
(A)M=N
(B)
(C)
(D)
(2)下列函数中既是在
上是增函数，又是以
为周期的偶函数的是 ( )
(A)
(B)
(C)
(D)
(3)(文)若
是直二面角，直线
且b与a不重合，则
的一个充分但不必要条件是
( )
(A)
，
(B)
且
(C)
，
(D)
(理)复数
对应的向量按逆时针方向旋转120°后得到的向量对应的复数
，则复数z等于
(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(4)(文)同(理)第3题
(理)已知双曲线的两条渐近线方程分别为
和
，则该双曲线离心率为
(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(5)同(理)第4题
(理)在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，若AD=BC，且AD与BC成60°角，则异面直线EF和BC所成角的大小为 ( )
(A)30° (B)60° (C)30°或60° (D)90°
(6)(文)同(理)第5题
(理)函数
的单调递增减区间为
(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(7)(文)同(理)第6题
(理)有六支足球队争夺一次比赛的前四名，并对前四名发给不同的奖品，A、B是六支球的两支，若A、B不都获奖，则不同的发奖方式共有 ( )
(A)144种 (B)216种
(C)366种 (D)360种
(8)(文)同(理)第7题
(理)极坐标系中，直线
和直线
的位置关系是 ( )
(A)垂直 (B)平行
(C)相关但不垂直愿 (D)相交
(9)(文)设实数x，y满足
，则
的最小值为
(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
(理)若是直二面角，直线
b与a不得合，则直线的一个充分但不必要条件是
(
)
(A)(A)，
(B)且
(C)，
(D)
(10)已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项的和为210，则此等差数列共有 ( )
(A)8项 (B)7项
(C)6项 (D)5项
(11)已知
是方程
的两根，则动点(p，q)的轨迹图形是
(
)
(12)商店某种贷物进价下降了8%，但销售价没有变，于是这种贷物的销售利润率
由原来的r %增加(r+10)%，，则r的值等于
(
)
(A)12 (B)15 (C)20 (D)25
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
(13)若函数
，则
______________ 。
(14)抛物线
向右平移个单位得一曲线
，再把绕其项点逆时针旋转90°，则所得曲线方程为______________________ 。
(15)当x =3时，不等式
(a为常数，
)成立，则此不等式的解集是_________________________
。
(16)把底面半么为8圆锥放倒在平面内，使圆锥在此平面内绕顶点O滚动，当这圆锥在以虚线所示的圆O上绕O点滚动一周而回到原处时，圆锥本身滚动了两周半，则圆锥的母线长为___________________ 。
(17)(本小题满分12分)：
已知复数
。
(Ⅰ)求
(Ⅱ)若△ABC的三个有A、B、C依次成等差数列，且
，求
的取值范围。
(18)(本小题满分12分)
三棱锥P－ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P―AC―B为120°，PC=2，
。
(Ⅰ)求证：
(Ⅱ)求BD与底面ABC所成角的正弦值；
(Ⅲ)求三棱锥P－ABC的体积。
(19)(本小题满分12分)
某公司年初有资金500万元，由于坚持改革、大胆创新，每年资金递增20%，但该公司不忘回报社会，每年年底资助希望工程40万元，若
年后，该公司资金至少翻一番，求m的最小值。
(参考数据：
)
(20)(本小题满分12分)
设常数
，若
展开式中x的系数
，
(Ⅰ)写出数列
的通项公式；
(Ⅱ)设
；
(Ⅲ)当
时，求
的值。
(21)(本小题满分12分)
(文)若函数
，满足
。
(Ⅰ)求n的值；
(Ⅱ)是否存在实数
，使函数
在区间
上的值域
，若存在，求出这个值，若不存在，说明理由。
(理)设
是定义在自然数集N上的函数，满足
，且对任意
都有
的成立。
(Ⅰ)求的表达式；
(Ⅱ)若函数
，满足，问是否存在实数使函数在区间上的值域，若存在，求出这个值，若不存在，说明理由。
(22)(本小题满发14分)
如图，
为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且
，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变。
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(Ⅱ)过D点的直线
与曲线C相交于不同的M、N，且M在D、N之间设
，求λ的取值范围。
(Ⅲ)(只理科做)过D的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，求△OMN面积的最大值。
长春第二次摸拟底考试 数学 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间为120分钟。 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)参考答案
参考答案
一、(1)D (2)A (3)文D，理B (4)文B，理A (5)文A，理C (6)文C，理D (7)文D，理B (8)B (9)文B，理D (10)C (11)C (12)B
二、填空题：每小4分，共16分。
(13)
(14)
(15)
(16)20
三、(17)解：(Ⅰ)
(Ⅱ)在△ABC中因为，A、B、C、依次成等差数列，
即
(18)解：(Ⅰ)取AC的中点，E，连结DE、BE，则DE∥PC。 (1分)
∵PC⊥AC ，∴DE⊥AC。 (2分)
∵△ABC是正三角形，
∴AC⊥平面DEB，而
平面DEB，
AC⊥DB。 (4分)
(Ⅱ)∵AC⊥平面DEB，AC
平面ABC，
∴平面DEB⊥底面ABC。 (5分)
∴EB是DB在底面ABC内射影。
∴DE⊥AC，BE⊥AC，
∴∠DBE是二面角P―AC―B的平面角，故∠DBE=120° (7分)
在△DEB中，
。
由余弦定理，得
由正弦定理，得
即：BD与底面ABC的所成角的正弦值为
。 (9分)
(Ⅲ)作DF⊥底面ABC于F，
∵平面DEB⊥平面ABC，∴E在BE的延长线上。
∴∠DBE=60°，由DE=1，得
。 (10分)
∵D是PA的中点，∴P到平面ABC的距离为
(11分)
。 (12分)
(19)解：公司1年后有资金
(万元) (2分)
2年后有资金
……
m年后有资金
再由题意：
。 (11分)
时
时
。
即m的最小值为6。(12分)
(20)解：(Ⅰ)
令r=1，得
。过且过 (4分)
(Ⅱ)若b=1，则
若b>1，则
作差
(Ⅲ)b>1时
(21)解：(文)(Ⅰ)
解得
又∵n为自然数， ∴n=1。 (5分)
(Ⅱ)由n=1得
若存在实数满题设，则
的最大值为
又
此时
∴
在[-1，2]上值域为
。
故满足条件的λ存在，且λ＝2。 (12分)
(理)(Ⅰ)由。
相加，得
(Ⅱ)
即
又
。 (8分)
若存在实数满足题设，则
的最大值为
令
又
此时
故满足题设的λ存在且λ＝2。 (12分)
(22)解：(Ⅰ)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系。 (文1分)
(文2分)
∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆。 (文3分，理1分)
设其长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，
则
。
∴曲线C方程为
。 (文4分，理3分)
(Ⅱ)设真线1方程为
，代入曲线C的方程并整理，得
。
设
则
由(1)得
。(文6分理5分)
又
M在D、N之间， 故
。 (文7分，理6分)
由
。 (文9分，理7分)
而
。 (文11分，理8分)
当1与y轴重合时，
。
综上所述，
。 (文12分，理9分)
(理)(Ⅲ) 点O到直线MN的距离
。 (10分)
弦MN的长
设
则
(12分)
当且仅当
即
是等号成立，
此时
∴△OMN的面积有最大值为
(14分)