高考数学朝阳区第二学期综合（一）（文）参考答案

襄樊市高三年级统考试题(2004．3)

数学参考答案及评分标准(理工农医类)

一．选择题：ADCBB　　 ACDAA　　 DA

二．填空题：13．1　　14．19　　15．(p+0.1)a 　　16．(1，+∞)

三．解答题：

17．解：a . b　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分 　　　 | a+b |　　　　　　 4分 　　　 　　∴cos x≥0，因此| a+b |＝2 cos x 　　∴f (x)＝a . b－2｜a+b｜即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　　 ∴0≤cos x≤1 　　①若＜0，则当且仅当cos x＝0时，f (x)取得最小值－1，这与已知矛盾；　　　　　　　　　 8分 　　②若0≤≤1，则当且仅当cos x＝时，f (x)取得最小值， 　　由已知得，解得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　③若＞1，则当且仅当cos x＝1时，f (x)取得最小值， 　　由已知得，解得：，这与相矛盾． 　　综上所述，为所求．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

18．解：取3个球的方法数为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分 　　　 设“3个球全红色”为事件A，“3个全蓝色”为事件B，“3个球全黄色”为事件C，则 　　　 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分 　 　∵A、B、C为互斥事件　 ∴P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C) 　　即 　Þ 　P(A)＝0　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　∴红球的个数≤2，又∵n≥2，故n ＝2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

记“3个球中至少有一个是红球”为事件D，则为“3个球中没有红球” 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

19．(1)解：∵　的第二项为，∴q＝x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分 　　∴a_n＝x^n－1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

(2)解：当x＝1时， 　　又 　　∴，A_n＝n . 2 ^n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 　　当x≠1时， 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　　 　　∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

20．方法一 　　(1)解：以为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则 　　B(0，，0)，C(－a，，0)，D(－a，0，0)，P(0，0，4)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分 　　　 设Q(t，，0)，则 　　 ＝(t，，－4)，＝(t+a，，0) 　　　 ∵PQ⊥QD，∴＝0 　　即t²+at+3＝0　　① 　　∴△＝a²－12≥0　Þ　a≥2．　　　　 4分

(2)解：∵BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD， 　　　 ∴△＝a²－12＝0　Þ　a＝2，t＝－　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　＝(－，，0) ，＝(－2，0，－4) 　　∴cos 　　故异面直线AQ与PD所成角为arccos．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)解：过Q作QM∥CD交AD于M，则QM⊥AD，M(t，0，0) 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QM，又QM⊥AD，∴QM⊥平面PAD 　　过M作MN⊥PD于N，连结NQ，由三垂线定理知QN⊥PD 　　∴∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角 　　设N (m，0，n)，则＝(t－m，0，－n)，＝(t－m，，－n) 　　　 ＝(－4－m，0，－n) 　　∵MN⊥PD，ND、PD共线，∴ 　　得：m+n－t＝0，m－n＝4　　② 　　 　　由①得：t＝－1或t＝－3，由②得：n＝2+t 　　当t＝－1时，，当t＝－3时， 　　∴二面角A－PD－Q的大小为或．　　　　　　　　　　　　　　　 　　12分

方法二

(1)解：设BQ＝t，则PQ²＝19+t²，QD²＝3+(a－t)²，PD²＝16+a² 　　　 由PQ⊥QD得：19+t²+3+(a－t)²＝16+a²，即t²－at+3＝0　　① 　　∴△＝a²－12≥0　Þ　a≥2．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解：∵BC上存在唯一点Q，使PQ⊥QD， 　　　 ∴△＝a²－12＝0　Þ　a＝2，t＝，故Q是BC中点 　　取AD中点R，PA中点S，连RS、RC，则RS∥PD，RC∥AQ 　　∴∠RSC就是异面直线AQ与PD所成角　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　，， 　　∴ 　　故异面直线AQ与PD所成角为arccos．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

(3)解：同方法一得∠MNQ是二面角A－PD－Q的平面角　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　　 在Rt△PAD中， 　　在Rt△PQD中， 　　 　　由①得t＝1或t＝3 　　当t＝1时，，当t＝3时， 　　∴二面角A－PD－Q的大小为或．　　　　　　　　　　　　　　　 12分

21．(1)解：，∴曲线y＝f (x)在点M (x₁，f (x₁))处的切线的斜率 　　　 ∴切线l的方程为，即　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(2)解：令y＝0得 　　①≥0　 　(*) 　　∴，当且仅当时等号成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

②∵，∴(*)中“＝”不成立，故　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 　　 　　∵　∴，故x₂＜x₁ 　　∴当时，成立．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分

22．(1)解：∵a＝xi+(y+2)j，b＝xi+(y－2)j ，且| a |+| b |＝8 　　　 ∴点M(x，y)到两个定点F₁(0，－2)，F₂(0，2)的距离之和为8　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　　 ∴轨迹C为以F₁，F₂为焦点的椭圆，方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　(2)解：过轴上的点(0，3)，若直线是轴，则A、B两点是椭圆的顶点 　　　 ∴0，∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．　　　　　　　　　　　　　　　　 6分 　　∴直线的斜率存在，设方程为y＝kx+3，A(x₁，y₁)，B (x₂，y₂) 　　　 由　得：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分 　　　 此时，恒成立， 　　 　且　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分 　　 　∵，∴四边形OAPB是平行四边形 　 　若存在直线，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即0 　　 ∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12分 　　 　即　Þ　 　　解得： 　　∴存在直线l：，使得四边形OAPB是矩形．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分