2006浙江省普通高等学校招生统一考试模拟试卷 数　 学　 参考公式： 　　　 如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B) 　　　 如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B) 　　　 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k 　　　 正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧=cl，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长 　　　 球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径 　　　 球的体积公式V=π参考答案

参考答案

　　　 一、选择题

　　　 1.C　 M=2-1=1，m=-2-1=-3，∴M+n=1-3=-2.

　　　 2.B　 M=(0,1)，N=(-2，2)，M∩n=(0，1)=M.

　　　 3.C　 由定义域知x＜1，故排除A、B，由函数单调递减，故选C.

　　　 4.A　 椭圆方程为，由题意得=2×1，∴m=4.

　　　 5.A　 设S₄=m,则S₈=3m，∴S₈-S₄=2m，由等差数列性质知，S₁₂-S₈=3m，S₁₆-S₁₂=4m，∴S₁₆=10m，∴.

　　　 6.D　 设直线L平行于直线y=2y+1,且与曲线y=x⁴相切于点P(x₀，y₀)，则所求最小值d，即点P到直线y=2y+1的距离，y′=4x³=.

　　　 ∴x₀=，y₀=.

　　　 ∴.

　　　 7.C　 设PB=PC=AB=BC=AC=2，则当面PBC⊥面ABC时，四面体PABC体积最大，V=..=1.

　　　 8.D　 代入检验知直线过定点(-1，1).

　　　 9.B　 分别将0，1，2，3……8放在十位上，则凹数个数为

　　　 9²+8²+7²+…+1²=×9×(9+1)×(2×9+1)=285.

　　　 10.D　 由L与C方程消x得y²-2y₀y+4x₀=0(*)，Δ=4y₀²-16x₀=4(y₀²-4x₀)＜0.

　　　 ∴方程(*)无实根，∴l与C无公共点.

　　　 二、填空题

　　　 11.　 ∵a.b=|a||b|cosθ=12，|b|=5，∴|a|cosθ=.

　　　 12.200

　　　 13.75　 .

　　　 14.②③

　　　 三、解答题

　　　 15.解：(1)∵a=(cosα，sinα)，b(cosβ，sinβ)，

　　　 ∴a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　　 ∵|a-b|=，

　　　 ∴，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　　 即2-2cos(α-β)=.∴cos(α-β).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

　　　 (2)∵0＜α＜，＜β＜0，∴0＜α-β＜π.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

　　　 ∵cos(α-β)，∴sin(α-β)=.　　 sinβ=，∴cosβ=.　　 　　　　　12分

　　　 ∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=.+.()=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

　　　 16.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B，由题意知

　　　 P(A)=p³，P(B)=p³.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

　　　 P()=1-p³，P()=1-p³.

　　　 (1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A.+.B)=P(A.)P(.B)　　 4分

　　　 =p³(1-p³)+(1-p³)p³=2p³-2p⁶.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

　　　 (2)解法一：两套设备都能正常工作的概率为P(A.B)=P(A).P(B)=p⁶.　　　　　　　 9分

　　　 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P(A+B)+P(AB)=2P³-2P⁶+P⁶=2P³-P⁶.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　13分

　　 　解法二：两套设备都不能正常工作的概率为P(.)=P().P()=1(1-p³)².

9分

　　　 至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为

　　　 1-P(.)=1-P().P()=1(1-p³)²=2p³-p⁶.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13分

　　 　答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p³-2p⁶，能进行通讯的概率为2p³-p⁶.　　　 14分

　　　 17.解：(1)当BC＜2时，不存在；当BC=2时，存在唯一；当BC＞2时，存在两个.

4分

　　　 (2)此时，BC=2，Q为BC中点，连AQ，作AE⊥PQ于E.

　　　 ∵DQ⊥PA，DQ⊥PQ，∴DQ⊥面PAQ.∴PDQ⊥面PAQ.∴AE⊥面PDQ，AE=，AD=2，sinθ=即正弦值为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9分

　　　 (3)∵PA⊥面ABCD，AB⊥DA，AB⊥BC，

　　　 BC面PBA，DA⊥面PBA，cosθ=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　11分

　　　 S_△PAB=.1.1=，S_△PDQ=...

　　　 ∴cosθ，即大小为arccos.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

　 　　18.解：(1)f′(x)=-x²+4ax-3a².

　　　 令f′(x)=-x²+4ax-3a²=0，

　　　 得x=a或x=3a.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　　 由表

x		a		3a
y′	-	0	+	0	-
y	递减		递增	b	递减

　　　 可知：当x∈(-∞,a)时，函数f(x)为减函数；

　　　 当x∈(3a,+∞)时，函数f(x)也为减函数；

　　　 当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　　 当x=a时，f(x)的极小值为；

　　　 当x=3a时，f(x)的极大值为b；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

　　　 (2)由|f′(x)|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a.

　　　 ∵0＜a＜1，

　　　 ∴a+1＞2a，f′(x)=-x²+4ax-3a²，在[a+1，a+2]上为减函数.　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

　　　 ∴[f′(x)]_max=f′(a+1)=2a-1，

　　　 [f′(x)]_min=f′(a+2)=4a-4.

　　　 于是，问题转化为求不等式组的解.

　　　 解不等式组，得≤a≤1.

　　　 又0＜a＜1，∴所求a的取值范围是≤a≤1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　14分

　　 19.解：(1)①q=1时，不存在C.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

　　　 ②S_n=(q≠1)，S_n=.qⁿ.

　　　 ∴C=.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

　　　 (2)①当q=1时，S₃=3q₁，S₈=8q₁，S₉=9q₁，不合题意.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　　 ②当q≠1时，，

　　　 ∴，.

　　　 ∴且q≠1，又成等比数列，

　　　 ∴S₁₀²=xS₅(S₁₆-S₆).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10分

　　　 ∴

　　　 ∴(1-q¹⁰)²=x(1-q⁵)(q⁶-q¹⁶).

　　　 ∴1+q⁵=xq⁶，又2q⁶=1+q⁵.

　　　 ∴2q⁶=xq⁶，而且q≠0.∴x=2.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分

　　　 20.解：(1)由题意知，

　　　 ，则.

　　　 解得.

　　　 设t₁＞t₂≥3，则

　　　 ∵t₁-t₂＞0，t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，

　　　 ∴f(t₁)-f(t₂)＞0，f(t₁)＞f(t₂)，

　　　 函数f(t)在区间[3，+∞]上单调递增.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　　 (2)由S=得y₀=.

　　　 ∴点Q的坐标为(t+),

　　　 ∵函数f(t)在区间[3，+∞]上单调递增，

　　　 ∴当t=3时，取得最小值，此时点F、G的坐标分别为(3，0)、().

　　　 由题意设椭圆方程为.

　　　 由点G在椭圆上，得，解得b²=9.

　　　 ∴所求椭圆方程为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

　　　 (3)设C、D的坐标分别为(x,y)、(m,n)，则.

　　　 由=，得=，x=m，y=n-.

　　　 ∵点C、D在椭圆上，

　　　 ∴.

　　　 消去m，得n=.

　　　 又∵|n|≤3，∴||≤3，解得≤≤5.

　　　 ∴实数的取值范围是.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14分