1、已知
，集合
，若
,则实数
。
2、已知两条直线
若
，则
____.
3、若函数
的反函数的图像过点
，则
。
4、计算：
。
5、若复数
满足
(
为虚数单位)，其中
则
。
6、函数
的最小正周期是_________。
7、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为
,且焦距与虚轴长之比为
，则双曲线的标准方程是____________________.
8、方程
的解是_______.
9、已知实数
满足
，则
的最大值是_________.
10、在一个小组中有8名女同学和4名男同学，从中任意地挑选2名同学担任交通安全宣传志愿者，那么选到的两名都是女同学的概率是______(结果用分数表示)。
11、
若曲线
与直线
没有公共点，则
的取值范围是_________.
12、如图，平面中两条直线
和
相交于点
，对于平面上任意一点
,若
分别是到直线和的距离，则称有序非负实数对
是点的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是____________.
13、
如图，在平行四边形
中，下列结论中错误的是
( )
(A)
(B)
(C)
(D)
14、如果
，那么，下列不等式中正确的是( )
(A)
(B)
(C)
(D)
15、若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( )
(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件
(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件
16、如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是
(A)48 (B) 18 (C) 24 (D)36
17、(本题满分12分)
已知
是第一象限的角，且
，求
的值。
18、
(本题满分12分)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方方向相距20海里的
处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西
，相距10海里
处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援(角度精确到
)？
19、(本题满分14)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
在直三棱柱
中，
.
(1)求异面直线
与
所成的角的大小；
(2)若
与平面
S所成角为
，求三棱锥
的体积。
20、(本题满分14)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。设数列
的前
项和为
，且对任意正整数，
。
(1)求数列的通项公式
(2)设数列
的前项和为
,对数列
，从第几项起
？
21、本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知在平面直角坐标系
中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为
,右顶点为
,设点
.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若
是椭圆上的动点，求线段
中点的轨迹方程；
(3)过原点的直线交椭圆于点
，求
面积的最大值。
22(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分。
已知函数
有如下性质：如果常数
，那么该函数在
上是减函数，在
上是增函数。
(1)如果函数
在
上是减函数，在
上是增函数，求的值。
(2)设常数
，求函数
的最大值和最小值；
(3)当是正整数时，研究函数
的单调性，并说明理由。
2006年普通高等学校招生全国统一考试 上海卷 数学(文史类)参考答案
上海数学(文史类)参考答案
一、(第1题至笫12题)
1. 4 2. 2 3. 
4. 
5. 3
6.π
7. 
8. 5 9. 0 10.
11.－1<b<1 12. 4
二、(第13题至笫16题)
13. C 14. A 15. A 16. D
三、(第17题至笫22题)
17.解：
=
由已知可得sin
,
∴原式=
.
18.解：连接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.
于是,BC=10
.
∵
, ∴sin∠ACB=
,
∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°
∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.
19.解：(1) ∵BC∥B1C1, ∴∠ACB为异面直线B1C1与AC所成角(或它的补角)
∵∠ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ACB=45°,
∴异面直线B1C1与AC所成角为45°.
(2) ∵AA1⊥平面ABC,
∠ACA1是A1C与平面ABC所成的角, ∠ACA =45°.
∵∠ABC=90°, AB=BC=1,
AC=
,
∴AA1=.
∴三棱锥A1-ABC的体积V=
S△ABC×AA1=
.
20.解(1) ∵an+ Sn=4096, ∴a1+ S1=4096, a1 =2048.
当n≥2时, an= Sn－Sn－1=(4096－an)－(4096－an－1)= an－1－an
∴
=
an=2048()n－1.
(2) ∵log2an=log2[2048()n－1]=12－n,
∴Tn=(－n2+23n).
由Tn<－509,解待n>
,而n是正整数,于是,n≥46.
∴从第46项起Tn<－509.
21.解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=
,则半短轴b=1.
又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为
(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),
|
由 |
 x= |
得 |
 x0=2x－1 |
y= |
y0=2y－ |
由,点P在椭圆上,得
,
∴线段PA中点M的轨迹方程是
.
(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.
当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入,
解得B(
,
),C(－,－),
则
,又点A到直线BC的距离d=
,
∴△ABC的面积S△ABC=
于是S△ABC=
由
≥－1,得S△ABC≤,其中,当k=－时,等号成立.
∴S△ABC的最大值是.
22.解(1) 由已知得
=4, ∴b=4.
(2) ∵c∈[1,4], ∴
∈[1,2],
于是,当x=时, 函数f(x)=x+
取得最小值2.
f(1)－f(2)=
,
当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+
；
当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.
(3)设0<x1<x2,g(x2)－g(x1)=
.
当
<x1<x2时, g(x2)>g(x1),
函数g(x)在[,+∞)上是增函数；
当0<x1<x2<时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.
当n是奇数时,g(x)是奇函数,
函数g(x) 在(－∞,－
]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.
当n是偶数时, g(x)是偶函数,
函数g(x)在(－∞,－)上是减函数, 在[－,0]上是增函数.