眉山市高中2006届第一次诊断考试 数学(理工农医类)　　　　　　　　　　　　　 　2005.12 4．参考公式： 如果事件A、B互斥，那么。 如果事件A、B相互独立，那么 如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为参考答案

眉山市高中2006届第一次诊断考试数学(理)参考答案

2005.12.27

一、选择题：BC ABAC　　 BCDC BD

1．解：∵U={0，1，2，3，4，5} ，M={0，3，5}，N={1，4，5}；

　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　故选B

2．解：　　　　　　　　　　　　　　　　　 故选C

3．解：利用排除法。，而B、D的；

C的，不符合有界性。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　故选A

4．解：若甲：；则乙；则丙：；故乙是丙的逆否命题。故选B

5．解：　　　　　　　　　 故选A

6．解：当“ ”为条件时可推出结论“”成立；

　　 当“”成立时，m与、m与的位置关系不确定。　　　　　　　　　　　　　　　　　 故选C

7．解：的解是：

，则故选B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8．解：因为数列{}为等差数列，设公差为d.,　　 若，

　　　 又因为：

　　 而　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 故选C

9．解：因为　 若是关于中心对称：

则，故，所以不关于指定的点成中心对称；

　 若是关于轴对称：则　时，对称轴为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10．解：因定义运算：xy=x(1－y) ，所以不等式(x－a)(x+a)<1

　　　　　　 即

　　　　　　 又因为对一切x都成立，所以，即

11．解：有14名志愿者，但每天早、中、晚三班，每班4人，只需12人，所以应先从14人中选出12人，然后这12人再来分组排班。　　　　　　　　　　　　　　　 故选B

12．解：是偶函数，且在上是减函数，所以在上是增函数；

　　　　　 又

　　　　　 故在上是增函数；是钝角三角形的两个锐角，

　　　　　 ，

而所以：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、填空题：

13．；

解：，

　　

14．

解：

15．－252

解：

　　　　

16．③

解：①不恒为偶函数；

②，

所以，若关于对称，

若不恒关于对称；

③时，整个图象在x轴的上方(或顶点在x轴上)

，故在区间上是增函数；

④无最大值。(开口向上)

三、解答题

17．解：(1)从10人中任取3人，共有种，最小号码为5，相当于从6，7，8，9，10共五个中任取2个，则共有种结果.则最小号码为5的概率为P= =………………(4分).

(2)选出3个号码中至多有一个是偶数，包括没有偶数和恰有一个偶数两种情况，共有种.所以满足条件的概率为P=……(8分)

(3)3个号码之和不超过9的可能结果有：

(1，2，3)、(1，2，4)、(1，2，5)、(1，2，6)、(2，3，4)、(1，3，4)、(1，3，5)

则所求概率为. P= =………………(12分).

18．解；(1)由f(1)=0，得a²－a²+b²－4c²=0， ∴b= 2c…………(1分).

又由正弦定理，得b= 2RsinB，c=2RsinC,将其代入上式，得sinB=2sinC…………(2分)

∵B－C=，∴B=+C，将其代入上式，得sin(+C)=2sinC……………(3分)

∴sin()cosC + cos sinC =2sinC，整理得，…………(4分)

∴tanC=……………(5分)

∵角C是三角形的内角，∴C=…………………(6分)

(2)∵f(2)=0，∴4a²－2a²+2b²－4c²=0，即a²+b²－2c²=0……………(7分)

由余弦定理，得cosC=……………………(8分)

=∴cosC=(当且仅当a=b时取等号)……(10分)

∴cosC≥，∠C是锐角，又∵余弦函数在(0，)上递减，∴.0<C≤………(12分)

19．解：(1)时，

　　　　　　　　 时，　　 …………3分

数列为等比数列，　 ………………4分

，……………………………………………………5分

(2)由题意知：

　

　　　　　　　　　　 ………………8分

即，　 故数列为等差数列。　　　　　　　 ……………………12分

20．解：(1)∵f(x)在R上满足f (x+4)=f (x)，∴4是f(x)的一个周期.∴f (2)= f (6)…(2分)

∴+n=　　 ①，

又∵f (4)=31，∴+n=31　 ②　 ……………(4分)

联解①、②组成的方程组，得m =4，n=30…………………(6分).

(2)由(1)知，f(x)=+30，x∈.

∵1<　, ∴5<.∴f(log₃ m)= f(log₃ 4)=f()

==……………………………(8分)

又∵3<，∴f(log₃ n)= f(log₃ 30)=

==…………………(10分)

∵，∴

∴+30，∴f(log₃ m)<f(log₃ n)………(12分).

21．(I)设(、均不为)

由//得，即　　　　　　　　　　　 (2分)

由//得，即　　　　　　　 (4分)

由得

动点的轨迹的方程为　　　　　 (6分)

(II)设直线的方程为

联立消去得

，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

且即①　　　　　　　　　　　 (9分)

　　　　　　　　　

　　　　　　　　 　　　　　　(12分)

②

综合①②知直线的斜率的取值范围为　　 (13分)

22．解：(1)∵f (x ) =x³ + x²–a² x，∴f ¹(x ) = a x² + bx–a² …………(1分)

∵x₁ ，x ₂是f (x )的两个极值点，∴x₁ ，x ₂是方程a x² + bx–a²=0的两个实根…(2分)

∵a > 0 ，∴x₁ x ₂=- a² ，x₁ +x ₂=　，∴︱x₁︱+︱x ₂︱=︱x₁ - x ₂ ︱==2，

∴，∴b² = 4a² －4a³ ……………………(4分)

∵b²≥0 ，∴4a² －4a³≥0 ，∴0<a≤1…………………………(5分)

(2)∵b² = 4a² －4a³ (0<a≤1)，令g(a)= 4a² －4a³ ,∴　(a ) =8 a–12a²…(6分)

由　(a) >0 ,得0<a<　, 由　(a) <0 ,得<a≤1.

∴g(a)在(0 , )上递增，在(　,1)上递减.……………………………(8分)

∴g(a)在(0 ,1)上的最大值是g()=.

∴g(a) ≤.∴ b²≤.∴ ∣b︱≤……(9分)

(3)∵x₁ ，x ₂是方程a x² + bx–a²=0的两个实根，∴f ¹(x ) = a(x–x₁)(x-x ₂).

∴h(x ) = a(x–x₁)(x-x ₂)－2a(x–x₁)= a(x–x₁)(x-x ₂－2)………(10分)

∴∣h(x )∣= a∣x–x₁∣∣x-x ₂－2∣≤……(11分)

∵x>x₁ ，∴x–x₁>0. 又∵x₁<0，∴x₁ x ₂<0 ，∴ x ₂>0 .∴ x ₂+2>2 .

又∵x<2，∴x－x ₂－2<0 ……………………………………………(12分)

∴∣h(x )∣≤=.

又∵∣x₁∣+∣x₂∣=2,且x₁<0， x ₂>0 ，∴ x ₂－x₁=2 .

将其代入上式得∣h(x )∣≤4a.………………………………………(13分)