一项是符合题目要求的。)

1．如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M为AC与BD的交点，若，

　 ，则下列向量中与相等的向量是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．

　　　 C．　　　　　　　　　　　 D．

2．化简(－3，4，1).[2(5，－2，3)+3(－3，1，0)].(2，－1，4)的结果是　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．(－4，2，8)　　　　 B．(2，－1，4)　　　　 C．(－2，1，－4)　 D．(4，－2，8)

3．设＝a，＝b，＝c，则使A、B、C三点共线的条件是　　　　　　　　　　 ( 　　)

　　　 A．c＝a+b，　　　　　　 B．c＝a+b　　　　 C．c＝3a－4b　　　　 D．c＝4a－3b

4．若点A(x²+4，4－y，1+2z)关于y轴的对称点是B(－4x，9，7－z)，则x，y，z的值依次为　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．1，－4，9　　　　　　 B．2，－5，－8　　　　 C．2，5，8　　　　　　 D．－2，－5，8

5．若、、三个单位向量两两之间夹角为60°，则|++|＝ (　　 )

　　　 A．6　　　　 　　B．　　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　　　　 D．

6．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁与CC₁的中点，则直线ED与D₁F所成角的大小是　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

7．设a、b是平面a内的两个非零向量，则n.a＝0，n.b＝0是n为平面a的法向量的(　　 )

　　　 A．充分条件　　　　　　 B．充要条件　　　　　　 C．必要条件　　　　　 D．既非充分又非必要条件

8．已知a＝(2，2，1)，b＝(4，5，3)，而n.a＝n.b＝0，且|n|＝1，则n＝　　　　 (　　 )

　　　 A．(，，－)　 B．(，－，)　 C．(－，，－)D．±(，－，)

9．设A、B、C、D是空间任意四个点，令u＝，v＝，w＝，则u、v、w三个向量　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．互不相等　　　　　　 B．至多有两个相等　 C．至少有两个相等D．有且只有两个相等

10．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

　　　 ①；

　　　 ②∠BAC＝60°；

　　　 ③三棱锥D-ABC是正三棱锥；

　　　 ④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直.

　　　 其中正确的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．①②　　　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　　 C．③④　　　　　　　　 D．①④

11．若a、b、c是空间的一个基底，下列各组

　　　 ①la、mb、nc(lmn≠0)；　　　　　　　　　　　　　 ②a+2b、2b+3c、3a－9c；

　　　 ③a+2b、b+2c、c+2a；　　　　　　　　　　　　　 ④a+3b、3b+2c、－2a+4c

　　　 中，仍能构成空间基底的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　　 )

　　　 A．①②　　　　　　　　　　 B．②③　　　　　　　　　　 C．①③　　　　　　　　 D．②④

12．在空间直角坐标系O-xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，则这个多边形的面积为 (　　 )

　　　 A．　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　 C．　　　　　　　　 D．2

13．若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x，－1，－3)是直角三角形的三个顶点，则x＝　　　　　 ．

14．若a＝(3x，－5，4)与b＝(x，2x，－2)之间夹角为钝角，则x的取值范围为　　　　　 ．

15．设向量a＝(1，－2，2)，b＝(－3，x，4)，已知a在b上的射影是1，则x＝　　　　 ．

16．设A(1，2，－1)，B(0，3，1)，C(－2，1，2)是平行四边形的三个顶点，则此平行四边形的面积为　　　　　　　　　　　 ．

17．(本题12分)在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD，∠BCD=90°，∠ADB=30°，E，F分别是AC，AD的中点。

⑴求证：平面BEF⊥平面ABC；

⑵求平面BEF和平面BCD所成的角.

18．(本题12分)已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面边长AB=2，AB₁⊥BC₁，点O、O₁分别是边AC，A₁C₁的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.

⑴求正三棱柱的侧棱长.

⑵若M为BC₁的中点，试用基向量、、表示向量；

⑶求异面直线AB₁与BC所成角的余弦值．.

19．(本题12分)如图，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交B₁C于点F.

⑴求证：A₁C⊥平面BED；

⑵求A₁B与平面BDE所成的角的正弦值.

20．(本题12分)．在60°的二面角的棱上，有A、B两点，线段AC、BD分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB，已知AB=4，AC=6，BD=8.

⑴求CD的长度；

⑵求CD与平面所成的角

21．(本题12分)棱长为a的正方体OABC-O₁A₁B₁C₁中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x(0≤x≤a).以O为原点，直线OA、OC、OO₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图.

⑴求证：A₁F⊥C₁E；

⑵当△BEF的面积取得最大值时，求二面角B₁-EF-B的大小.

22．(本题14分)如图直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.

⑴求的大小(用反三角函数表示)；

⑵设

　　　 ①

　　　 ②OA与平面SBC的夹角(用反三角函数表示)；

　　　 ③O到平面SBC的距离.

⑶设

　　　 ①　　　　　　 .　

　　　 ②异面直线SC、OB的距离为 　　　　　　　　.(注：⑶只要求写出答案)

高三单元试题之十：空间向量参考答案

　　　　　　　 由

　　　　　　　

　　　　　　　 所以

　　　　　　　 因为

　　　　　　　 所以

　　 ⑵作

　　　　　　　 　

　　　　　　　 所以

　　　　　　　 所以θ=即平面BEF和平面BCD所成的角为

18．解：⑴设正三棱柱的高为h，由AB=2及正三棱柱的性质知

B

　　　 　　 又，

　　　 　　 即

　　　　 ，则正三棱柱的侧棱长为.

⑵连结AC₁，∵点M是BC₁的中点

　

⑶

，

而

∴异面直线AB₁与BC所成角的余弦值为．

19．解：⑴解法(一)(1)以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系0－xyz，则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，

　　　 A₁(2，0，4)，D₁(0，0，4)，C₁(0，2，4)，B₁(2，2，4)，

　　　 设E(0，2，t)，则∵

　　　 　

　　　

　　　 且

　　　

　　　 　

　　　 (2)设A₁C∩平面BDE=K，

　　　 设A₁C∩平面BDE=K，

　　　

　　　 …①

　　　 同理有…②

　　　 由①，②联立解得　

　　　 　

　　　 即所求角的正弦值是　

解法(二)(1)证明：连AC交BD于点O，由正四棱柱性质可知AA₁⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴A₁C⊥BD

　　　 又∵A₁B⊥侧面BC₁且B₁C⊥BE， ∴A₁C⊥BE，

　　　 ∵BD∩BE=B， ∴A₁C⊥平面BDE

　　　 (2)解：设A₁C交平面BDE于点K，连BK，

　　　 则∠A₁BK为A₁B与平面BDE所成的角，

　　　 ∵在侧面BC₁中BE⊥B₁C，∴△BCE∽△B₁BC，

　　　 　

　　　 连结OE，则OE为平面ACC₁A₁与平面DBE的交线，

　　　

　　　

　　　

　　　 即为A₁B与平面BDE所成的角的正弦值.

20．解：⑴因为，故有

　 ，

因为CA⊥AB，BD⊥AB，所以

所以.

(2)过C作CE⊥平面α于E，连接AE、CE在△ACE中，CE=6sin60°=3，连接DE，则∠CDE就是CD与平面α所成角。

.

21．⑴证：∵AE＝BF＝x，∴A′(a,0,a)、C′(0,a,a)、E(a,x,0)、F(a－x,a,0)，

　　　 ……4分

　　　

　　　 ∴A′F⊥C′E。

　　　 ⑵由BF＝x，EB＝a－x，

　　　 则当且仅当

　　　 时等号成立，此时E、F分别为AB、BC的中点.

　　　 取EF的中点M，连BM，则BM⊥EF，根据三垂线定理知EF⊥B₁M，

　　　 ∴∠B₁MB即为二面角B₁－EF-B的平面角.

　　　 在Rt△BMF中，　

　　　 在Rt△B₁BM中，

　　　 ∴二面角B₁-EF-B的大小是。

22．解：⑴如图所示：C(2，0，0)，S(0，0，1)，O(0，0，0)，B(1，1，0)

⑵①

②,

　

③；