具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

　　 例1　　 给定双曲线。过A(2，1)的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。

　　 分析：设，代入方程得，。

　　 两式相减得

　　 。

　　 又设中点P(x,y)，将，代入，当时得

　　 。

　　 又，

　　 代入得。

　　 当弦斜率不存在时，其中点P(2，0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。

　　 例2　　 已知椭圆，通过点(1，1)引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。

　　 略解：有，代入得

0，得。

　　 从而直线方程是。

　　 此题将椭圆变为双曲线、抛物线都是同一方法。

　　 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。

　　 例3　　 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，，。

　　 (1)求证离心率；

　　 (2)求的值；

　　 (3)求的最值。

　　 分析：(1)设，，由正弦定理得。

　　 得　 ，

　　 　。

　　 (2)，采用合分比定理得

　　　　　 　，

　　　　　 。

　　 (3)。

　　 当时，最小值是；

　　 当时，最大值是。

　　 在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。

　　 例4　　 已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。

　　 分析：椭圆上两点，，代入方程，相减得

。

　　 又，，，代入得。

　　 又由解得交点。

　　 交点在椭圆内，则有

　　 。

　　 得。

　　 例5　　 为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。

　　 略解：两点所在直线与联立求出交点，代入抛物线内，有，解得。

　　 圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理。

　　 例6　　 已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点(如图)。

　　 (1)求的取值范围；

　　 (2)直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。

　　 分析：(1)直线代入抛物线方程得，

　　 由，得。

　　 (2)由上面方程得，

　　 ，焦点为。

　　 由，得，或

　　 。

　　 例7　　 经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。

　　 分析：左焦点F(1,0)， 直线y=kx代入椭圆得，

　　 ，

　　 。

　　 由AF知。将上述三式代入得，或。

　 基本知识点：

　　 (1)求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。

　　 (2)注意韦达定理的应用。

　　 弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)则

　　

　　　　

　　　　

　　　　

　　 (3)注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。

　　 (4)有关中点弦问题

　　 <1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。

　　 <2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。

　　 (5)有关圆锥曲线的对称问题

　　

这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。

　　 (6)圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。

　　 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

　　 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。

[例题选讲]

　 例1. 已知抛物线y²=2px(p>0)。过动点M(a，0)且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B

　　

　　 (2)若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。

　　 解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 (2)设Q(x₃，y₃)由中点坐标公式得

　　

　　

　　

　　 又三角形MNQ为等腰直角三角形

　　

　 例2. 线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，求双曲线的离心率。(2000年，全国高考)

　 　解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

　

h是梯形的高。

　　 由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

　　

　　

　　

　　

　　 由点C、E在双曲线上，得

　　

　　

　　

　　

　　 小结：此题涉及解析几何的最根本问题：如何建立坐标系，这也是对学生基本能力的考查，坐标系是一种工具，如果用得好，可以给解题带来方便，但考试时我们不可能对各种情况进行讨论，一般而言，可从对称的角度去考虑。

　 例3.

　　 (1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点

　　 (2)设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f(t)的表达式。

　　 值范围。(1997年.上海高考)

　　 (1)证明：抛物线的准线为

　　

　　 由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线右边，得

　　

　　

　　

　　

　　　

　　 故直线与抛物线总有两个交点。

　　 (2)解：设点A(x₁，y₁)，点B(x₂，y₂)

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 (3)解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　 例4.

　　 (1)求椭圆方程；

　　 (2)是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。

　　 (1)解：

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 把(2)代入(1)式中得：

　　

　　

　　

　 例5. 点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e₁之间满足ee₁=1，

　　 (1)求椭圆E的离心率e；

　　 (2)求双曲线C的方程。

　　 解：(1)因为点M(2，1)，点N(4，-1)

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　 (2)因为ee₁=1

　　

　　

　　

　　

　　 设双曲线C上一点P(x，y)

　　

　　 化简得双曲线C的方程：

　　

　 例6. 已知抛物线y²=x上有一条长为l的动弦AB，求AB的中点M到y轴的最短距离。

　　 解：设中点M的坐标为(x，y)，利用对称性可设A(x+u，y+v)，B(x-u，y-v)，依题意有

　　

　　

　　

　　

　

　　 将(4)(5)代入(3)得：

　 　

　　

　　 此即M点的方程

　　

　　

　　

　　　

　　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　 　在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。

　　 解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。

　 例1. 已知直线及，求它们所围成的三角形的外接圆方程。

　 　解：由直线与的斜率分别为和，得此两条直线互相垂直，即此三角形为直角三角形。

　　 由及，可求得直角三角形的斜边所在的两个顶点分别为。所求三角形的外接圆，即为以A(2，2)和B(8，8)为直径端点的圆，其方程为

　　 评注：此题若不首先利用三角形是直角三角形这一中间结论，而先求三角形的三个顶点，再解三元一次方程组求圆的一般方程，将会大大增加计算量。

　 例2. 已知点P(5，0)和圆O：，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。

　　 解：点M是弦AB中点，点M是在以OP为直径的圆周上，此圆的圆心为，半径为，所以其方程为，即。同时，点M又在圆的内部，，即，所以所求的轨迹方程为

　 　评注：此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。

　 例3. 求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。

　　 解：因圆心在直线上，故可设圆心

　　 又圆与轴相切，，

　　 此时可设圆方程为

　　 (运用已知条件，找出间联系，尽可能把未知量的个数减少，这对简化计算很有帮助。)

　 又圆被直线截得的弦长为。考虑由圆半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，只要将弦心距用表示出来，便可利用勾股定理求得。

　　 弦心距

　　 ，解得

　　 当时，，圆方程为

　　

　 当时，，圆方程为

　　

　　 评注：此题若不充分利用圆的半径、半弦、弦心距组成的直角三角形，而用弦长公式，将会增大运算量。

　 例4. 设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。

　　 解： 圆过原点，并且，

　　 是圆的直径，圆心的坐标为

　　 又在直线上，

　　 即为所求。

　　 评注：此题若不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。

　　 我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。

　　 例5. 已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。

　　 解：设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。

　　 由方程组消去后得

　　

　　 由，得　　　　　　 (1)

　　 又P、Q在直线上，

　　

　　 把(1)代入，得，

　　 即

　　 化简后，得

　　 　　　　(4)

　　 由，得

　　

　　 把(2)代入，得，解得或

　　 代入(4)后，解得或

　　 由，得。

　　 所求椭圆方程为

　　 评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。

　 例6. 若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则

　　 解：设A()，B()则M()

　　 又A、B分别在上，则有

　　

　　 由得，

　　 即，

　　 　　

　　 评注：此题充分利用了中点坐标公式斜率公式及“设而不求”的策略，简化了计算。

　　 利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

　 例7. 求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：上的圆的方程。

　　 解：设所求圆的方程为：

　　

　　 即，

　　 其圆心为C()

　　 又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。

　　 评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

　　 近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。

　　 一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：

　　 把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则

。记住了结果 ，在计算中，直接代，就能减少配方、开方等运算过程。

　　 例1　　 求直线被椭圆所截得的线段AB的长。

　　 解：把代入椭圆方程得到。

　　 ，

　　 则。

1. 求直线与圆的相交弦

　　 因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。

　　 设直线方程为，圆的方程为，圆心为，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为，则。

　　 例2　　 求圆截得直线的线段长。

　　 解：由原方程得，圆心为(-1，-2)，则

，从而截得线段长。

2. 求过圆锥曲线焦点的弦

　　 圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

　　 例3　　 如图1，、是椭圆的两个焦点，AB是经过的弦，若，则_______________。

　　 解：由定义可知，

　　　　 ，

　　　　 则。

　　　　 又由图可知，

　　　　 因此。

　　　 注：此题如果不结合图形用定义，就很难计算出结果。

3. 运用两种曲线组合构成的特殊位置关系，巧妙简化运算

　　 例4　　 已知圆F的方程，抛物线的顶点在原点，焦点是圆心F，过F引直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，设的倾斜角为，当为何值时，线段，，成等差数列。

　　 解：依题意知圆心F(0,1)，半径为1，抛物线的方程：，　(如图2)。

　　 成等差数列，

　　 ，

　　 即，。

　　 设的方程为：，代入得。

　　 由，

　　 解得，

　　 故或。

　　 注：如果此题直接计算三段，，的长，而不结合图形得关系式

，会加大运算量。

1. 用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离

　 例5　 直线与轴不垂直，与抛物线交于A、B两点，与椭圆

交于C、D两点，与轴交于点，若，求的范围。

　　 解：设直线的方程为，又设、、

。

　　 由，

　　 得到。

　　 当　 ，　　　　　　　　　　 (1)

　　 由韦达定理得

　　 ，

　　 由

　　 得到。

　　 　　　　　　　　　　　　　　(2)

　　 有。

　　 要使，只需AB的中点与CD的中点坐标相同即可。由，得

　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3)

　　 把(3)分别代入(1)、(2)可求得的范围为(-2，-1)。

　　 注：此题如果不转化，就找不到关系，花费再多时间都难以解出。

2. 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离

　　 例6　 点A(3，2)为定点，点F是抛物线的焦点，点P在抛物线

上移动，若取得最小值，求点P的坐标。

　　 解：抛物线的准线方程为，设P到准线的距离为，则

=。要使取得最小值，由图3可知过A点的直线与准线垂直时，

取得最小值，把代入，得P(1，2)。

　　 利用直线参数方程的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。

　　 例7　 过点A(-2，4)引倾斜角为的直线交抛物线于

两点，若成等比数列，求P的值。

　　 解：设直线的参数方程为

　　

　　 代入得

　　 ，

　　 ，

　　 。

　　 由参数的几何意义，得，，。

　　 根据题意得，

　　 ，

　　 ，于是，即，又

，得。

　　 在过原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。

　　 例8　　 P、Q是双曲线上的两点，若，求证：

为定值。

　　 解：将代入

　　 ，

　 　有。

　　 设，为定值。

　　 上面五种方法及例证充分说明，灵活掌握求线段长的简便算法，会加快你的解题速度，从而提高数学成绩，以利高考。

　　 例1　 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t　 (0<t<1)，以AB为直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.

(1)写出直线的方程；

　 (2)计算出点P、Q的坐标；

　 (3)证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.　　　　　　　　　

　 讲解: 　通过读图,　 看出点的坐标.

(1 ) 显然, 　于是 直线

的方程为；

　 (2)由方程组

解出　 、；　　　　　　　

　 (3),

　　　 　.

　 由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.

　　　　　　 需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?

例2　 已知直线l与椭圆有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．

　 讲解：从直线所处的位置, 设出直线的方程,

　 由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为

代入椭圆方程　得

　　　　　

化简后，得关于的一元二次方程

　　　　　　

于是其判别式

由已知，得△=0．即　 ①

在直线方程中，分别令y=0，x=0，求得

　令顶点P的坐标为(x，y)，　 由已知，得

　代入①式并整理，得 ,　 即为所求顶点P的轨迹方程．

　　　　　　 方程形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?

　 例3已知双曲线的离心率，过的直线到原点的距离是

　(1)求双曲线的方程；

　(2)已知直线交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.

　 讲解：∵(1)原点到直线AB：的距离.

　　 故所求双曲线方程为

(2)把中消去y，整理得 .

　　 设的中点是，则

　　

　 　

即

故所求k=±.

为了求出的值, 需要通过消元, 想法设法建构的方程.

　 例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁、F₂在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F₁PF₂的最大值为90°，直线l过左焦点F₁与椭圆交于A、B两点，△ABF₂的面积最大值为12．

　 (1)求椭圆C的离心率；

　 (2)求椭圆C的方程．

　 讲解：(1)设, 对　由余弦定理, 得

　，

解出　

　(2)考虑直线的斜率的存在性，可分两种情况：

　 i) 当k存在时，设l的方程为………………①

　椭圆方程为

　由　 得　 .

于是椭圆方程可转化为　 ………………②

将①代入②，消去得　 　　,

整理为的一元二次方程，得　　　 .

则x₁、x₂是上述方程的两根．且

，

也可这样求解：

，

AB边上的高

　

ii) 当k不存在时，把直线代入椭圆方程得

　

由①②知S的最大值为　 由题意得=12　 所以　　

　 故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：

设过左焦点的直线方程为：…………①

(这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.)

椭圆的方程为：

由得：于是椭圆方程可化为：……②

把①代入②并整理得：

于是是上述方程的两根.

,

AB边上的高,

从而

　　　

当且仅当m=0取等号，即

　　 由题意知,　 于是　 .

　　 故当△ABF₂面积最大时椭圆的方程为：

　　 例5 　已知直线与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线上.

(1)求此椭圆的离心率；

(2 )若椭圆的右焦点关于直线的对称点的在圆上，求此椭圆的方程.

　　　 讲解:(1)设A、B两点的坐标分别为　得

,　　

根据韦达定理，得　　　　　　

　

　∴线段AB的中点坐标为().　

　由已知得

　 故椭圆的离心率为　.

　(2)由(1)知从而椭圆的右焦点坐标为　设关于直线的对称点为

解得　 　

由已知得

故所求的椭圆方程为　.

　　　 例6 　已知⊙M：轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，

　　　 (1)如果，求直线MQ的方程；

　　　 (2)求动弦AB的中点P的轨迹方程.

　　　 讲解:(1)由，可得由射影定理，得　 　在Rt△MOQ中，

　 　 ，

　　 故，

　　 所以直线AB方程是

　　 (2)连接MB，MQ，设由

点M，P，Q在一直线上，得

由射影定理得

即　把(*)及(**)消去a，并注意到，可得

　　　 适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.

　　 例7　 　如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.

(1)建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设，

　 　 　 　

　 试确定实数的取值范围．

讲解: (1)建立平面直角坐标系, 如图所示 .　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　

　　 ∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　y

C

　　　 =

A　　 O　　　　 B

∴动点P的轨迹是椭圆 .　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

∵　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴曲线E的方程是 　.

　 (2)设直线L的方程为 , 代入曲线E的方程，得

　　　　

设M₁(,　 则

① 　 ② 　 ③

　 　　　　　　　　　　　　　　　

i)　 L与y轴重合时，　　　　　　　　 　　　　　

ii)　 L与y轴不重合时，

　 由①得　

　 又∵,

∵　 或　

∴0＜＜1 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

∴　.　　　　　　 　　　

∵

而　 ∴

∴ 　　　　　　　　　　　　　　

∴ ,　 ,

∴的取值范围是　.　　

　　 值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.

　　 例8　 直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A两点.

　 (1)求证：;

　 (2)求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.

　 讲解: (1)易求得抛物线的焦点.

　 若l⊥x轴，则l的方程为.

若l不垂直于x轴，可设,代入抛物线方程整理得　　　　　　 .

综上可知　 .

(2)设，则CD的垂直平分线的方程为

假设过F，则整理得

　 　　

，.

这时的方程为y=0，从而与抛物线只相交于原点. 而l与抛物线有两个不同的交点，因此与l不重合，l不是CD的垂直平分线.

　　　　　　 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！

　　　 例9 某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？

　　　　　　 讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B到P路程相等的点，设这样的点为M，则

　　　 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|,

即　 　|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,

,

∴M在双曲线的右支上.

故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运土石最省工.

相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？

解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.

Ⅰ.求曲线的方程

1．曲线的形状已知

　　　　　　 这类问题一般可用待定系数法解决。

　　　　　　 例1 (1994年全国)

　　　　　　 已知直线L过原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。若点A(-1，0)和点B(0，8)关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。

　　　　　　 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法。

设出它们的方程，L：y=kx(k≠0),C:y²=2px(p>0).

设A、B关于L的对称点分别为A^/、B^/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：

A^/()，B^/()。因为A^/、B^/均在抛物线上，代入，消去p，得：k²-k-1=0.解得：k=,p=.

所以直线L的方程为：y=x,抛物线C的方程为y²=x.

　　　　　　 例2 (1993年全国)

　　　　　　 在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。

　　　　　　 分析：此题虽然与例1一样都是求形状已知的曲线方程问题，但不同的是例1是在给定的坐标系下求曲线的标准方程，而此题需要自己建立坐标系。为使方程简单，应以MN所在直线为x轴，以MN的垂直平分线为y轴。这样就可设出椭圆的标准方程，其中有两个未知数。

　　　　　　

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程

　　　　　　 　例3 (1994年全国)

已知直角坐标平面上点Q(2，0)和圆C：x²+y²=1, 动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0),求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。

　　　　　　 分析：如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：

P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：|MN|²=|MO|²-|ON|²=|MO|²-1，将M点坐标代入，可得：(²-1)(x²+y²)-4²x+(1+4²)=0.

当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。

　　　　　　 这种方法叫做直接法。

　　　　　　 例4 (1999年全国)

给出定点A(a,0)(a>0)和直线L：x=-1，B是直线L上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。

　　　　　　 分析：设C(x,y),B(-1,b).则直线OB的方程为：y=-bx.由题意：点C到OA、OB的距离相等，且点C在线段AB上，所以

　 y²[(1-a)x²-2ax+(1+a)y²]=0

若，y≠0,则(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0<x<a)；若y=0，则b=0,∠AOB=180º,点C的坐标为(0，0)，也满足上式。所以，点C的轨迹方程为(1-a)x²-2ax+(1+a)y²=0(0≤x<a)。

　　　　　　 当a=1时，方程表示抛物线弧；当0<a<1时，方程表示椭圆弧；当a>1时，方程表示双曲线一支的弧。

一般地，如果选择了m个参数，则需要列出m+1个方程。

例5 (1995年全国)

已知椭圆和直线L:，P是直线L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上，且满足|OQ| |OP|=|OR|²，当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

分析：设Q(x,y),P(x_P,y_P),R(x_R,y_R), 则

，代入

，得：(x-1)²+(y-1)²=1.

　　　　　　 注意：若将点P、Q、R分别投影到x轴上，则式子可用|x| |x_P|=|x_R²|代替，这样就简单多了。

Ⅱ.研究圆锥曲线有关的问题

1．有关最值问题

　　　 例6 (1990年全国)

　　　 设椭圆中心为坐标原点，长轴在x上，离心率，已知点P(0，)到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标。

　　　 分析：最值问题，函数思想。关键是将点P到椭圆上点的距离表示为某一变量是函数，然后利用函数的知识求其最大值。

　　　 设椭圆方程为，则由e=得：a²=4b²，所以x²=4b²-4y².

设Q(x,y)是椭圆上任意一点，则:

|PQ|==(-byb).

若b<，则-<-b,当y=-b时|PQ|_max=.

解得：b=->与b<矛盾；若b，则当y=-时|PQ|_max=,解得:b=1,a=2.

2．有关范围问题

例7 (2001春季高考题)

已知抛物线y²=2px(p>0)，过M(a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p。

　　　　　　 (1)求a的取值范围；

　　　 (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。

　　　　　　 分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1)，可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。

　　　　　　 解：(1)直线L的方程为：y=x-a,将y=x-a 代入抛物线方程y²=2px,得：设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，则,又y₁=x₁-a,y₂=x₂-a,

　　　　 解得:

　　　　　　 (2)设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(x₃,y₃)，则由中点坐标公式得：

,

所以|QM|²=(a+p-a)²+(p-0)²=2p².又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S_△NAB=,即△NAB面积的最大值为²。

例8　 (1992年高考题)

已知椭圆，A,B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x₀,0)，证明：.

分析：欲证x₀满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a,因此问题转化为寻求x₀与x的关系。

由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),则有：(x₁-x₀)²-y₁²=(x₂-x₀)²-y₂²,因为点A、B在椭圆上，所以，

，从而由-a≤x₁≤a,-a≤x₂≤a,可得：

例9　 (2000年高考题)

已知梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，点E满足，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围。

分析：显然，我们只要找到e与的关系，然后利用解不等式或求函数的值域即可求出e的范围。

解：如图建立坐标系，这时CD⊥y轴，

因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。

依题意，记A(-C,0)，C(h)，E(x₀,y₀),其中c=为双曲线的半焦距，h是梯形的高。

由,即(x₀+c,y₀)= (-x₀,h-y₀)得:x₀=.设双曲线的方程为,则离心率e=。由点C、E在双曲线上,将点C、E的坐标和e=代入双曲线的方程得

将(1)式代入(2)式,整理得(4-4)=1+2,故=1.

依题设得,解得.

所以双曲线的离心率的取值范围是.

例10 已知抛物线y²=2px (p≠0)上存在关于直线x+y=1对称的相异两点，求p的取值范围。

分析：解决本题的关键是找到关于p的不等式。

设抛物线上关于直线x+y=1对称的两点是M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂)，设直线MN的方程为y=x+b.代入抛物线方程，得：x²+(2b-2p)x+b²=0.则x₁+x₂=2p-2b,y₁+y₂=( x₁+x₂)+2b=2p.则MN的中点P的坐标为 (p-b,p).因为点P在直线x+y=1上，所以2p- b=1，即b=2p-1。

又=(2b-2p)²-4b²=4p²-8bp>0,将b=2p-1代入得:4p²-8p(2p-1)>0,3p²-2p<0.解得：

0<p<.

是否存在常数a、b、c，使函数f(x)=满足下列条件：

(1)函数f(x)是奇函数；

(2)；f(1)<f(3) ；

(3)不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]？

若存在，则求出不等式f(-2+sinθ) ≤m对任意θ∈R恒成立的实数m的取值范围；若不存在，说明理由。

解：由函数f(x)是奇函数得：b=0。又不等式0≤f(x)≤的解集是[-2,-1]∪[2,4]，所以-2、-1、2、4是程f(x)=0与f(x)=的根，从而:

,解得：a=2，c=-4，故：

f(x)= 。

1.已知圆的弦长为时，则a=　　　　 　　　　　　 ( C　 )

　　　　　　 A．　　　　　 B．　　　 C．　　　 D．

2．(03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是(　 D )

　　　　　　 A．　　　　　　　　　　 B．　　　　

　　　　　　 C．　　　　　　　　　　 D．

3 (03天津)不等式的解集是　　　　　　　　　　　　　　　 ( C　 )

　　　　　　 A．(0，2)　　　　　　　 B．(2，+∞)　　　　　　

　　　　　　 C．(2，4)　　　　　　　　 D．(－∞，0)∪(2，+∞)

4．(03天津)抛物线y=ax2 的准线方程是y=2，则a的值为　　　 ( B　 )

　　　　　　 A． B．－　　　　　 C．8　　 D．－8

5(03江苏)如果函数的图象与x轴有两上交点，则点(a，b)在aOb平面上的区

　 　 域(不包含边界)为　　　　　　 (　　 )C

　　　　　　 A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　　 D．

6．(03江苏)抛物线的准线方程是y=2，则a的值为　　 ( B　 )

　　　　　　 A．　 B．－　　　　　 C．8　　 D．－8

7．(03江苏)设曲线在点处切线的倾斜角的取值范

　 围为，则P到曲线对称轴距离的取值范围为　　　　　 ( B　 )

　　　　　　 A．[]　　　　 B．　　　 C．　 D．

8．(03江苏)已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(，0)直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程是　　 (　 D　 )

　　　　　　 A．　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．

9．(03江苏)已知长方形四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1).一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角).设P4的坐标为(x4，0).若1< x4<2，则tanθ的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ( C　 )

　　　　　　 A．　　　　 B．　　　 C．　　　 D．

10(03广东)(双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为，则双曲线的离心率为(　　 )B

　　 A. 　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　 C. 　　　　　　 D.

11 (03广东)(已知圆C：及直线L：当直线L被C截得的弦长为23时，则(　　 )C

　　 A. 　　　　　　　　　　 B. 　　　　　　　　　 C. 　　　　　　　　　 D.

12(03广东)(不等式的解集是________　　　　　　

13. (03年上海)已知定点A(0，1)，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标是_________。

14. (03年上海)设集合，则集合＝__________________。

15(03年上海) 给出问题：是双曲线的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点F1的距离等于9，求点P到焦点F2的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。

　　 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内；若不正确，将正确结果填在下面空格内。

16(03年上海)(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状。

(1)若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？

(2)若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？

(半个椭圆的面积公式为。柱体体积为：底面积乘以高。本题结果均精确到0.1米)

［解］(1)如图建立直角坐标系，则点P(11，4.5)

椭圆方程为

将与点P坐标代入椭圆方程，得，此时

因此隧道的拱宽约为33.3米。

(2)［解一］由椭圆方程

得

因为，即，且

所以

当S取最小值时，有，得

此时

故当拱高约为6.4米，拱宽约为31.1米时，土方工程量最小

［解二］由椭圆方程，得

于是

即，当S取最小值时，有

得，，以下同解一

17. (03年上海)(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分。

在以O为原点的直角坐标系中，点为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零。

(1)求向量的坐标。

(2)求圆关于直线OB对称的圆的方程。

(3)是否存在实数，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求的取值范围。

解］(1)设，则由，即，得

，或

因为

所以，得，故

(2)由，得B(10，5)，于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：

得圆心(3，)，半径为

设圆心(3，)关于直线OB的对称点为(x，y)，则

，得

故所求圆的方程为

(3)设，为抛物线上关于直线OB对称的两点，则

，得

即为方程的两个相异实数

18.(03广东)(每小题满分14分)

　　 已知常数，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)。问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由。

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判定是否存在两定点，使得P到两定点距离的和为定值。

　　 按题意有

　　 设

　　 由此有

　　 直线OF的方程为

　　 直线CE的方程为：

　　 从(1)(2)消去参数k，得点P(x，y)坐标满足方程

　　 整理得

　　 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点。

　　 当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

　　 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值

　　 当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a。

19．(03天津)(本小题满分14分)

　　 已知常数a>0，向量c=(0，a)，i=(1，0)，经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

20．本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分14分。

　　 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

　　 ∵i=(1,0),c=(0,a),　 ∴

　　 因此，直线OP和AP的方程分别为　 y=ax和y－a=－2ax .

　　 消去参数，得点P(x,y)的坐标满足方程y (y－a)=－2a2x2 ,

　　 整理得　 　　　　　　　　①

　　 因为a>0，所以得：

　 (i)当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

　 (ii)当0<a<时，方程①表示椭圆，焦点E和

　　　　 为合乎题意的两个定点；

　 (iii)当a>时，方程①表示椭圆，焦点E和F))为合乎题意的两个定点.

21．(03天津)(本小题满分15分)

　　 如图，椭圆的长轴A1A2与x轴平行，短轴B1B2在y轴上，中心为M(0，r)(

　 (Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；

　 (Ⅱ)直线交椭圆于两点直线交椭圆于两点求证：；

　 (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C，D，G，H，设CH交x轴于点P，GD交x轴于点Q.

　　　　 求证：|OP|=|OQ|.　　　 (证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形)

　 　

18．本小主要考查直线与椭圆等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力.满分15分.

　 (Ⅰ)解：椭圆方程为焦点坐标为

　　　 离心率

(Ⅱ)证明：将直线CD的方程代入椭圆方程，得

整理得根据韦达定理，得

　 所以 ①

将直线GH的方程代入椭圆方程，同理可得，

　 由①，②得所以结论成立.

(Ⅲ)证明：设点P(p,0)，点Q(q,0)，由C、P、H共线，

　 得解得，

　 由D、Q、G共线，同理可得

　

　 变形得

　　 即

　 所以

22．(03天津)(本小题满分14分)

　　 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=a，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，(建立坐标系如图)

　 　 (Ⅰ)若希望点P到三镇距离的平方和为最小，

　点P应位于何处？

　 (Ⅱ)若希望点P到三镇的最远距离为最小，

　　　　 点P应位于何处？

23．(03天津)本小题主要考查函数，不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.

　　 (Ⅰ)解：由题设可知，记设P的坐标为(0，)，则P至三镇距离的平方和为　 所以，当时，函数取得最小值.　 答:点P的坐标是

(Ⅱ)解法一：P至三镇的最远距离为

　　 由解得记于是

　　 　当即时，在[上是增函数，而上是减函数. 由此可知,当时,函数取得最小值. 当即时,函数在[上,当时,取得最小值,而上为减函数,且 可见, 当时, 函数取得最小值. 答当时,点P的坐标为当时,点P的坐标为(0,0),其中

　 解法二:P至三镇的最远距离为　 由解得

　 记于是

　　　

　 当的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

　 　 当即的图象如图，因此，当时，函数取得最小值.

答：当时，点P的坐标为当，点P的坐标为(0，0)，其中

　　　　　　 解法三：因为在△ABC中，AB=AC=所以△ABC的外心M在射线AO上，其坐标为，

　 　 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，

若(如图1)，则点M在线段AO上，

这时P到A、B、C三点的最远距离为

P1C和P2A，且P1C≥MC，P2A≥MA，所以点P与外心M

重合时，P到三镇的最远距离最小.

　 　若(如图2),则点M在线段AO外,这时

P到A、B、C三点的最远距离为P1C或P2A，

　 且P1C≥OC，P2A≥OC，所以点P与BC边中点O重合时，

P到三镇的最远距离最小为.

答：当时，点P的位置在△ABC的外心

；当时，点P的位置在原点O.

24．(03全国)(本小题满分14分)

　 　　　　　　 已知常数在矩形ABCD中，AB=4，BC=4，O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点(如图)，问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值？若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定值.

按题意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)设

由此有E(2，4ak)，F(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)直线OF的方程为：①

直线GE的方程为：②

从①，②消去参数k，得点P(x,y)坐标满足方程

整理得 当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.

　　 当时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。

当时，点P到椭圆两个焦点(的距离之和为定值。

当时，点P 到椭圆两个焦点(0， 的距离之和为定值2.

[模拟试题]

1. 过抛物线的焦点F，作弦轴于A、B两点，则弦长等于(　　 )

　　 A. 6　　 B. 18　　 C. 　　D. 36

2. 若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则实数m的取值范围是(　　 )

　　 A. (0，5)　　 B. (1，5)　　 C. 　　D.

3. 直线与抛物线只有一个公共点，则k的值为________。

4. 直线被椭圆所截得的弦的中点坐标是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 　　D.

5. 过点A引抛物线的一条弦，使该弦被A点平分，则该弦所在直线方程为(　　 )

　　 A. 　　B.

　　 C. 　　D.

6. 曲线C：关于直线对称的曲线的方程_________。

7. 设且，则的最大值与最小值分别是(　　 )

　　 A. 　　B. 　　C. 4，3　　 D. 8，6

8. P是抛物线上的点，F是抛物线的焦点，则点P到F与P到A的距离之和的最小值是(　　 )

　　 A. 3　　 B. 　　C. 4　　 D.

9. 已知抛物线C：

　　 (1)求证：抛物线C与x轴交于一定点M；

　　 (2)若抛物线与x轴正半轴交于N，与y轴交于P，求证：PN的斜率是一个定值；

　　 (3)当m为何值时，三角形PMN的面积最小，并求此最小值。